調和平均とは？　算術平均との違い、使い分け：AI・機械学習の用語辞典

用語「調和平均」について説明。データの各数値の逆数で平均を取り、さらにそれを逆数にして戻した値を表す。計算式にすると、データ数を「データの各数値の逆数」の総和で割る形になる。速度／レート（率）のデータ（＝逆数の形で加算される加法的なデータ）を平均する場合に適した平均の計算方法だ。

» 2023年11月22日 05時00分公開

[一色政彦，デジタルアドバンテージ]

連載目次

用語解説

　最も一般的に使われる「平均」とは、全ての数値を足して合計し、それを数値の総数で割ることである。これは、数学／統計学／機械学習において「算術平均」と呼ばれる。平均には他にも、「加重平均」や「幾何平均」「調和平均」「トリム平均」「移動平均」などがある。本稿ではこれらのうち調和平均について解説する。なお算術平均については、「平均値（Mean）／中央値（Median）／最頻値（Mode）とは？」で説明しているので併せて参照してほしい。

　数学／統計学／機械学習における調和平均（Harmonic Mean）とは、データの各数値の逆数*1で平均を取り、さらにそれを逆数にしたものである。

$*1　逆数とは、ある数に掛け合わせると1になる数のことだ。例えばある数が3の場合、掛け合わせると1となる数は$\frac{1}{3}$である。ある数3を分数で表現すると$\frac{3}{1}$となるので、先ほどの逆数の計算は分数の分母と分子を入れ替えることと等しい。このように、ある数の分数表現$\frac{a}{b}$の逆数は$\frac{b }{a}$となり、その計算方法は分数の分母と分子を“逆”にするだけである。$

図1　調和平均のイメージ

　以下では「算術平均と何が違うのか」が分かるように、算術平均と調和平均の計算方法と数学公式を紹介し、最後に使い分け指針をまとめる。計算方法の説明は冒頭の説明の繰り返しになるが、公式の意味を分かりやすくするために記述したので、ご了承いただきたい。

算術平均

　算術平均（Arithmetic Mean）値とは、データの各数値（x_iは、数値₁, 数値₂, ..., 数値_nのいずれかの数値）を全て足した合計値をデータ数（n）で割った値のことである。算術平均は相加平均とも呼ばれる。数学の公式は以下のようになる。

　算術平均は、最も一般的な「平均」の計算方法で、通常はこれを使えばよい。例えば月ごとの平均気温を求めたり、英語の試験の平均点を求めたりするのに使える。

調和平均

　調和平均（Harmonic Mean）値とは、より分かりやすくシンプルに表現すると、「データ各数値の逆数の平均を、再び逆数にして戻したもの」を意味する。これをより計算しやすくコンパクトに表現すると、データ数（n）を「データの各数値（x_iは、数値₁, 数値₂, ..., 数値_nのいずれかの数値）の逆数（1/x_i）」の総和（Σ）で割った値のことである。なお、データにゼロ（0）や負の値を含めることはできないので注意してほしい（0で割り算はできないし、負の値は計算自体は可能だが意味のある計算結果にならないので）。数学の公式は以下のようになる。

　調和平均は、速度や効率といったレート（率）のデータの平均値を求める場合に、算術平均の代わりに用いるとよい。この場合の“レート（率）”のデータとは、2つの値の比率、つまり、

で表される値である。例えば「速度」は、距離と時間の比率、つまり、

で表される。

　例えば、ある車が2つの異なる「速度」で、同じ距離である2つの区間を移動（例えば自宅～会社を往復）した場合を考えてみよう。1区間目（行き）を時速60km（1時間当たり60km）、2区間目（帰り）を時速30km（1時間当たり30km）で走行したとする。このケースで2つの「速度」の平均を取りたい場合、算術平均よりも調和平均がより適切だ。実際にこの数値例で調和平均値を計算してみよう。

（1）逆数（速度→ペース）を計算

　まず、速度（＝1時間当たりに進む距離km）の逆数（＝距離1km進むのにかかる時間、ここでは「ペース」と呼ぶことにする）に注目する。

（2）全ての逆数（ペース）を加算

　次に、計算した全てのデータ（この場合は2つ）の逆数（＝ペース）を加算する。つまり、ペースの合計値が求まる。

（3）全ての逆数（ペース）を平均

　加算した全逆数（＝ペースの合計値）をデータ数（n、この場合は2つ）で割る。これにより、ペースの平均値が求まる。

（4）逆数（ペース→速度）を計算

　最後に、逆数の平均（＝ペースの平均値）の逆数を取る。これにより、ペースの平均値から平均速度が求まる。

　以上の計算結果により、平均速度（＝1時間当たりに進む平均距離km）は40km/時間と求まった。

　このように調和平均は「逆数の平均の逆数」を計算することで求まり、その計算式は前述の公式のようにまとめることが可能だ。

　ちなみに単純な算術平均を用いると、時速60kmと時速30kmの平均速度は（60＋30）÷2＝45km/時間となるが、この計算は単に「1時間当たりに進む距離」を平均化したものであり、「実際に特定の距離を進んだ際の平均時速」とは異なる値になる。例えば、往路の60kmを時速60kmで走り、復路の60kmを時速30kmで走る場合、全体でかかる時間は3時間である。この場合、総移動距離120kmをかかった時間3時間で割ると、平均速度は120÷3＝40km/時間となり、これは調和平均の値と一致する。従って、「特定の距離を進むのに実際にかかる移動時間」を考慮して平均速度を求める場合は、調和平均を用いるのが適切だ。

　「速度」や「効率」の平均以外にも調和平均は、統計学／機械学習で使われる評価指標のF値（F-measure）／Fスコア（F-score）の計算にも使われている（詳しくは左記のリンク先を参照してほしい）。