三角不等式(三角比，三角関数)
三角比，三角関数(教科書範囲) ★★★
数学Ⅰ，数学Ⅱ共通ページです．
$\sin \theta>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ などの三角不等式(trigonometric inequalities)の問題を扱います．
$|a+b|\leqq |a|+|b|$ の三角不等式(trinangle inequality)のページではありません．
数学Ⅰの三角比を勉強中の方は2章までです．
三角不等式とその解き方
三角不等式の解き方
一旦，三角方程式を考え，不等式を満たす $\theta$ の範囲を考える．
解く上ではどの範囲の $\theta$ を求めるかに注意します．例えば $x^{2}>4$ $(x>0)$ などのように条件がある場合，$x>2$ に範囲が絞られるのと同じように，三角不等式を解く上では条件( $\boldsymbol{\theta}$ の範囲)に注意です．
数学Ⅰの三角比では $\theta$ を $0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ で制限していることが多く，数学Ⅱの三角関数では，弧度法で $0\leqq \theta < 2\pi$ で制限した問題が多いです．
例題と練習問題(数学Ⅰ三角比)
例題
例題
$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき，次の不等式を解け．
(1) $\sin\theta>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
(2) $\sqrt{3}\tan\theta+1\geqq0$
(3) $2\sin^{2}\theta-\cos\theta-2\leqq 0$
講義
(1)では $\sin$ は $y$ 座標を表すので，単位円を書いて $y$ 座標が $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より大きくなる $\theta$ の範囲を求めます．
(2)では $\tan$ は傾きを表すので，単位円を書いて，傾きが $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 以上の $\theta$ の範囲を求めます．
(3)では $\cos$ に統一するために，相互関係 $\color{red}{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1}$ をまず使います．
解答
(1)
$\boldsymbol{60^{\circ} < \theta < 120^{\circ}}$
(2)
$\tan\theta \geqq -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\boldsymbol{0^{\circ} \leqq \theta < 90^{\circ}，150^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}}$
(3)
$2\sin^{2}\theta-\cos\theta-2$
$=2(\color{red}{1-\cos^{2}\theta})-\cos\theta-2 \leqq 0$ ←相互関係
$\Longleftrightarrow \ 2\cos^{2}\theta+\cos\theta\geqq 0$
$\Longleftrightarrow \ \cos\theta(2\cos\theta+1)\geqq0$
$\therefore \ \cos\theta\leqq -\dfrac{1}{2}$，$0\leqq \cos\theta$
$\therefore \ \boldsymbol{0^{\circ}\leqq \theta \leqq 90^{\circ}}$，$\boldsymbol{120^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}}$
練習問題
練習1
$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき，次の不等式を解け．
(1) $\sin\theta>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(2) $\tan^{2}\theta-3\leqq0$
(3) $2\cos^{2}\theta-(2-\sqrt{3})\sin\theta-2+\sqrt{3}< 0$
練習1の解答
(1)
$\boldsymbol{45^{\circ}< \theta <135^{\circ}}$
(2)
$\tan^{2}\theta\leqq3$
$\Longleftrightarrow -\sqrt{3}\leqq \tan\theta\leqq\sqrt{3}$
$\boldsymbol{0^{\circ}\leqq \theta \leqq 60^{\circ}，120^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}}$
(3)
$2\cos^{2}\theta-(2-\sqrt{3})\sin\theta-2+\sqrt{3}$
$=2(1-\sin^{2}\theta)-(2-\sqrt{3})\sin\theta-2+\sqrt{3}<0$
$\Longleftrightarrow \ 2\sin^{2}\theta+(2-\sqrt{3})\sin\theta-\sqrt{3}>0$
$\Longleftrightarrow \ (2\sin\theta-\sqrt{3})(\sin\theta+1)>0$
$\therefore \ \sin\theta>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $(\because 0\leqq\sin\theta\leqq 1)$
$\boldsymbol{60^{\circ} < \theta < 120^{\circ}}$
例題と練習問題(数学Ⅱ三角関数)
例題
例題
$0\leqq \theta < 2\pi$ のとき，次の不等式を解け．
(1) $\sin\theta>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
(2) $\sqrt{3}\tan\theta+1 \geqq 0$
(3) $2\sin^{2}\theta-\cos\theta-2\leqq 0$
(4) $\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(5) $\cos2\theta \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
講義
(3)まで上の数学Ⅰの例題と同じですが，範囲が $0\leqq \theta < 2\pi$ であるのに注意です．
(4)は $X=\theta-\dfrac{\pi}{6}$ と置き換えをして解くとわかりやすいです．
(5)は $2\theta$ の範囲をまず出しますが，範囲が $0\leqq 2\theta < 4\pi$ (2回転分)であるのに注意です．
解答
(1)
$\boldsymbol{\dfrac{\pi}{3} < \theta < \dfrac{2}{3}\pi}$
(2)
$\tan\theta \geqq -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\boldsymbol{0\leqq \theta <\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{5}{6}\pi \leqq \theta <\dfrac{3}{2}\pi，\dfrac{11}{6}\pi \leqq \theta <2\pi}$
(3)
$2\sin^{2}\theta-\cos\theta-2$
$=2(\color{red}{1-\cos^{2}\theta})-\cos\theta-2 \leqq 0$ ←相互関係
$\Longleftrightarrow \ 2\cos^{2}\theta+\cos\theta\geqq 0$
$\Longleftrightarrow \ \cos\theta(2\cos\theta+1)\geqq0$
$\therefore \ \cos\theta\leqq -\dfrac{1}{2}$，$0\leqq \cos\theta$
$\boldsymbol{0\leqq \theta \leqq\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{2}{3}\pi \leqq \theta \leqq\dfrac{4}{3}\pi，\dfrac{3}{2}\pi \leqq \theta <2\pi}$
(4)
$X=\theta-\dfrac{\pi}{6}$ とおくと
$\sin X>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\left(-\dfrac{\pi}{6}\leqq X < \dfrac{11\pi}{6}\right)$
$\dfrac{\pi}{4} < X < \dfrac{3}{4}\pi$
すべての辺に $\dfrac{\pi}{6}$ を足すと
$\boldsymbol{\dfrac{5}{12}\pi < \theta < \dfrac{11}{12}\pi}$
(5)
$\cos2\theta \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\left(0\leqq 2\theta < 4\pi\right)$
$\color{blue}{0\leqq 2\theta\leqq \dfrac{\pi}{4}}，\color{green}{\dfrac{7}{4}\pi\leqq 2\theta\leqq \dfrac{9}{4}\pi}，\color{brown}{\dfrac{15}{4}\pi\leqq 2\theta < 4\pi}$
すべての辺を $2$ で割ると
$\boldsymbol{0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{8}，\dfrac{7}{8}\pi\leqq \theta\leqq \dfrac{9}{8}\pi，\dfrac{15}{8}\pi\leqq \theta < 2\pi}$
練習問題
練習2
$0\leqq \theta < 2\pi$ のとき，次の不等式を解け．
(1) $\tan^{2}\theta-3\leqq0$
(2) $2\cos^{2}\theta-(2-\sqrt{3})\sin\theta-2+\sqrt{3}\leqq 0$
(3) $\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
(4) $\sin\left(2\theta-\dfrac{3}{4}\pi\right)<-\dfrac{1}{2}$
練習2の解答
(1)
$\tan^{2}\theta\leqq3$
$\Longleftrightarrow -\sqrt{3}\leqq \tan\theta\leqq\sqrt{3}$
$\boldsymbol{0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{3}，\dfrac{2}{3}\pi\leqq \theta\leqq \dfrac{4}{3}\pi，\dfrac{5}{3}\pi\leqq \theta<2\pi}$
(2)
$2\cos^{2}\theta-(2-\sqrt{3})\sin\theta-2+\sqrt{3}$
$=2(1-\sin^{2}\theta)-(2-\sqrt{3})\sin\theta-2+\sqrt{3}\leqq0$
$\Longleftrightarrow \ 2\sin^{2}\theta+(2-\sqrt{3})\sin\theta-\sqrt{3}\geqq0$
$\Longleftrightarrow \ (2\sin\theta-\sqrt{3})(\sin\theta+1)\geqq0$
$\therefore \ \sin\theta\geqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}，\sin\theta=-1$ $(\because -1\leqq\sin\theta\leqq 1)$
$\boldsymbol{\dfrac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \dfrac{2}{3}\pi，\theta=\dfrac{3}{2}\pi}$
(3)
$X=\theta+\dfrac{\pi}{4}$ とおくと
$\cos X\leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\left(\dfrac{\pi}{4}\leqq X < \dfrac{9}{4}\pi\right)$
$\dfrac{\pi}{4} \leqq X \leqq \dfrac{11}{6}\pi$，$\dfrac{13}{6}\pi \leqq X < \dfrac{9}{4}\pi$
すべての辺から $\dfrac{\pi}{4}$ を引くと
$\boldsymbol{0 \leqq \theta \leqq \dfrac{19}{12}\pi，\dfrac{23}{12}\pi \leqq \theta < 2\pi}$
(4)
$X=2\theta-\dfrac{3}{4}\pi$ とおくと
$\sin X< -\dfrac{1}{2}$ $\left(-\dfrac{3}{4}\pi\leqq X < \dfrac{13}{4}\pi\right)$
$\color{blue}{-\dfrac{3}{4}\pi\leqq X < -\dfrac{\pi}{6}}$，$\color{green}{\dfrac{7}{6}\pi < X < \dfrac{11}{6}\pi}$，$\color{brown}{\dfrac{19}{6}\pi < X < \dfrac{13}{4}\pi}$
すべての辺に $\dfrac{3}{4}\pi$ を足すと
$0\leqq 2\theta < \dfrac{7}{12}\pi$，$\dfrac{23}{12}\pi < 2\theta < \dfrac{31}{12}\pi$，$\dfrac{47}{12}\pi < 2\theta < 4\pi$
すべての辺を $2$ で割ると
$\boldsymbol{0 \leqq \theta < \dfrac{7}{24}\pi，\dfrac{23}{24}\pi < \theta < \dfrac{31}{24}\pi，\dfrac{47}{24}\pi < \theta < 2\pi}$