Deel III Matrices

WiskundeInzicht

eencursuswiskundevoor studierichtingenmetcomponentwiskunde derdegraadalgemeensecundaironderwijs geschrevendoor

KoenDeNaeghel

DeelIIIMatrices

CREATIVECOMMONS

Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen3.0 (CCBY-NC-SA)

Ditisdevereenvoudigde(human-readable)versievandevolledigelicentie. Devolledigelicentieisbeschikbaaropdewebpagina http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

Degebruikermag:

hetwerkkopieren,verspreidenendoorgeven Remixen-afgeleidewerkenmaken

Onderdevolgendevoorwaarden:

Naamsvermelding -Degebruikerdientbijhetwerkdedoordemakerofdelicentiegeveraangegevennaamte vermelden(maarnietzodanigdatdeindrukgewektwordtdatzijdaarmeeinstemmenmetjewerkofjegebruikvan hetwerk).

Niet-commercieel -Degebruikermaghetwerknietvoorcommerci¨eledoeleindengebruiken.

Gelijkdelen -Indiendegebruikerhetwerkbewerktkanhetdaaruitontstanewerkuitsluitendkrachtensdezelfde licentiealsdeonderhavigelicentieofeengelijksoortigelicentiewordenverspreid.

Metinachtnemingvan:

Afstandnamevanrechten -Degebruikermagafstanddoenvaneenofmeerderevandezevoorwaardenmet voorafgaandetoestemmingvanderechthebbende.

Publiekdomein -Indienhetwerkofeenvandeelementeninhetwerkzichinhetpubliekedomeinondertoepasselijke wetgevingbevinden,danisdiestatusopgeenenkelewijzebe¨ınvloeddoordelicentie.

Overigerechten -Ondergeenbedingwordenvolgenderechtendoordelicentie-overeenkomstinhetgedranggebracht:

• Hetvoorgaandelaatdewettelijkebeperkingenopdeintellectueleeigendomsrechtenonverlet.

• Demorelerechtenvandeauteur.

• Derechtenvananderen,ofwelophetwerkzelfofwelopdewijzewaarophetwerkwordtgebruikt,zoalshet portretrechtofhetrechtopprivacy.

Letop -Bijhergebruikofverspreidingdientdegebruikerdelicentievoorwaardenvanditwerkkenbaartemakenaan derdendoormiddelvaneenlinknaar http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

DeelIII Algebra-Matrices

1Matrices 1

1.1Definities,notatiesenvoorbeelden............................................1 1.2Optellingvanmatrices..................................................5

1.3Vermenigvuldigingvaneenre¨eelgetalmeteenmatrix................................6

1.4Vermenigvuldigingvanmatrices.............................................7

1.5Toepassingen........................................................13

Toepassing1-Aantalverbindingeningrafen......................................13

Toepassing2-Migratie-enpopulatievoorspellingen..................................17 Oefeningen............................................................21

2Lineairestelselseninverteerbarematrices28 2.1Lineairestelsels......................................................28

2.2Lineairestelselsoplossenmeteliminatie-algoritmen..................................29

Eerstemanier-Eliminatie-algoritmevanGauss....................................30

Tweedemanier-Eliminatie-algoritmevanGauss-Jordan...............................31

Derdemanier-GaussenGauss-Jordaneliminatie-algoritmemetbehulpvanmatrices...............31

2.3Trapvormvaneenmatrixenrij-equivalentematrices..................................34 2.4Rangvaneenmatrix...................................................36

2.5Aantaloplossingenvaneenlineairstelsel........................................37 2.6Inverteerbarematrices...................................................39 2.7Toepassingen........................................................42

Toepassing1-Methodeomdeinversevaneenmatrixteberekenen.........................42 Toepassing2-Codeertheorie...............................................43

Toepassing5-Determinantenvierkantelineairestelsels:deregelvanCramer...................65 Toepassing6-DeterminantvanVandermonde.....................................66

Toepassing7-Determinantendevergelijkingvaneenrechte.............................67

Toepassing8-Determinantendeoppervlaktevaneendriehoek...........................68

Toepassing9-Meetkundigebetekenisvandedeterminantvaneen2 × 2-matrix..................69

Toepassing10-Meetkundigebetekenisvandedeterminantvaneen3 × 3-matrix..................69 Oefeningen............................................................70

Morpheus:TheMatrixiseverywhere,itisallaroundus.

LillyWachowski&LanaWachowski, TheMatrix,1999

Hoofdstuk1

Matrices

Indithoofdstukintroducerenwehetbegripmatrixalseenmiddelomgegevensweertegeven.Voordehandliggendebewerkingenvangegevenszoalsoptellingenvermenigvuldigingwordenvertaaldintermenvandezematrices. Toepassingsgebiedenzijngrafentheorie,statistiek,optica,matrixmechanica,elektrotechniekencomputergraphics.

1.1Definities,notatiesenvoorbeelden

✸ Opontdekking. Heleenisdeeigenaresvandriekledingzaken.ZeheefteenvestigingteAalter,Bruggeen Gent.Inelkewinkelhoudtmendeverkoopvanvierkledingstukkenvaneennieuwecollectieindegaten.Inde maanddecember2022noteertHeleendevolgendeverkoopcijfers.

T-shirtbroekhemdsjaal Aalter60302015 Brugge80653510 Gent12090800

Dezeverkoopcijfersvormeneenrechthoekigeschemamet3rijenen4kolommen.Omschrijfwerktebesparen laatHeleendenamenvandevestigingen(Aalter,...)enkledingstukken(T-shirt,...)weg.Zeschrijftdan:   60302015 80653510 12090800  

✸ Definitie.1 Een(reele)matrix iseen(nietledig)schemareelegetallen, gerangschiktineenrechthoekigevormvolgensrijenenkolommen. Weschrijvenzo’nschematussenrechthoekigehaakjes.Doorgansnoterenwe eenmatrixmeteenLatijnsehoofdletter. Voorbeeld. Dematrices

Insymbolen: Rm×n def = {A | A iseen m × n-matrix}

Voorbeeld. A = ï 01 √7 811/30, 66 ò ∈ R2×3 en B =     1 1 1 0

    ∈ R4×1

(iii) Degetallenvaneenmatrix A noemtmendeelementen vandematrix.Hetgetalopde i-derijende j-de kolomnoemenwehet(i,j)-deelement van A 4 Datgetalnoterenwemet aij of Aij

Voorbeeld. Vulaan:voordematrix A = ï 01 √7 811/30, 66 ò is a12 = ...,a21 = ...,a23 = ... 2ND MATRIX 1:[A] ENTER >

Een2 × 3-matrix A isaltijdvandevorm A = ïa11 a12 a13 a21 a22 a23ò waarbij aij ∈ R Algemeeniseen m × n-matrix A altijdvandevorm A =      a11 a12 ...a1n a21 a22 ...a2n am1 am2 ...amn

     waarbij aij ∈ R Wekunnenditincompactevormschrijvenals A =[aij ]1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n ofkortweg A =[aij ].

(iv) Eenrijmatrix iseenmatrixmet´e´enrij.Eenkolommatrix iseenmatrixmet´e´enkolom.

Voorbeeld. Matrix A = 10 π 6 iseenrijmatrixenmatrix B =   11 0, 23 0   iseenkolommatrix.

(v) Eenvierkantematrix iseenmatrixmetevenveelrijenalskolommen.Vooreen n × n-matrix A noemtmen ▷ a11, a22,..., ann dehoofddiagonaal (ofkortwegdiagonaal), ▷ an1, an 12,..., a1n denevendiagonaal. Voorbeeld. A = 

123 456 789   iseenvierkantematrix.Duiddehoofddiagonaalendenevendiagonaalaan. ✸ Modelvoorbeeld1. Bepaaldevierkante3 × 3-matrix A waarvoor Aij = i + j 2. Oplossing. 3Lees Rm×n nietals R totdemacht m maal n maarwelals R, m maal n 4Stilzwijgendveronderstellenwesteeds i ∈{1, 2,...,m} en j ∈{1, 2,...,n} waarbij m × n deordevandematrixis.Tweematrices A en B zijngelijk als A en B dezelfdeordehebbenenhet(i,j)-deelementvan A gelijkisaanhet(i,j)-deelementvan B

✸

Modelvoorbeeld2. Eenjeugdbewegingwildeclubkasspijzenenisopzoek naareennieuwebronvaninkomsten.Erzijnverschillendevoorstellen:een wafelbakhouden,eentoneelstukopvoeren,eenVlaamsekermisorganiserenof eenoptredenvanClouseau.Devermoedelijkenetto-opbrengstbijelkweertype wordtvoorgesteldindevolgendetabel(uitgedruktineuro):

zonbewolktregen wafelbak500500500 toneelstuk250350350 Vlaamsekermis65040050 optredenClouseau1200900 300

(a) Schrijfdematrix P opdiedegetallenindetabelweergeeft. (b) Watisdepraktischebetekenisvan P32 en P43? (c) Verklaarwaarom P31 >P33 Oplossing. ✸ Definities,notatiesenafspraken(vervolg).

Belgischepopgroep Clouseau

(vi) Eenbovendriehoeksmatrix iseenvierkantematrixwaarvandeelementenonderdediagonaalgelijkzijnaan hetgetal0.Eenonderdriehoeksmatrix iseenvierkantematrixwaarvandeelementenbovendediagonaal gelijkzijnaanhetgetal0.

Voorbeeld. Bovendriehoeksmatrix A =   10 7 02 2√2 008   enonderdriehoeksmatrix B =     1000 3200 1170 1020

   

(vii) Eendiagonaalmatrix iseenvierkantematrixwaarvandeelementenbovenenonderdediagonaalnulzijn.

Voorbeeld. A =   300 000 00 √2023   iseendiagonaalmatrix. (viii) Eenscalairematrix iseendiagonaalmatrixwaarvanallediagonaalelementenaanelkaargelijkzijn.

Voorbeeld. A = ï 30 0 3ò iseenscalairematrix.

(ix) Eeneenheidsmatrix iseendiagonaalmatrixwaarvanallediagonaalelementengelijkzijnaanhetgetal1. De n × n eenheidsmatrixnoterenwemet En of In

Voorbeeld. E3 =   100 010 001   isde3 × 3eenheidsmatrix.Eenheidsmatriceszijnvoorgeprogrammeerd: 2ND MATRIX MATH 5:identity

Opontdekking(vervolg). Heleen,eigenaresvandriekledingwinkels,rangschiktdeverkoopcijferszodatelkerijdegegevensvaneenwinkelbevatenelke kolomdegegevensvaneenkledingstukbevat. T-shirtbroekhemdsjaal Aalter60302015 Brugge80653510 Gent12090800

matrix B =     6080120 306590 203580 15100

   

matrix A =   60302015 80653510 12090800   Heleenhadnatuurlijkookdegegevensvanelkkledingstukineenrijkunnen schikkenendegegevensvanelkewinkelineenkolom. AalterBruggeGent T-shirt6080120 broek306590 hemd203580 sjaal15100

Vulaan:het(2, 3)-deelementvandematrix B ishet(...,...)-deelementvandematrix A Vulaan:detweederijvandematrix B isde.........rij/kolom(schrappenwatnietpast)vandematrix A. ✸ Definities,notatiesenafspraken(vervolg). (xii) Zij A een m × n-matrix.Degetransponeerdematrix AT isde n × m-matrixmetals(i,j)-deelement aji. Insymbolen: AT ij def = Aji

Voorbeeld. Vulaan:voordematrix A = ï137 214ò 2×3matrix

2ND MATRIX 1:[A]

isdegetransponeerdematrix AT =   ...... ......   × matrix

2ND MATRIX MATH 2:T ENTER

(xiii) Eensymmetrischematrix iseenmatrix A waarvoor AT = A

Voorbeeld. A = ï 1 7 73 ò iseensymmetrischematrix.

(xiv) Eenscheefsymmetrischematrix iseenmatrix A waarvoor AT = A.

Voorbeeld. A = ï 07 70ò iseenscheefsymmetrischematrix. ✸ Modelvoorbeeld3. Bewijsdevolgendeeigenschap: ∀A ∈ Rm×n :(AT )T = A. Bewijs. Neemeenwillekeurigematrix A ∈ Rm×n.Wemoetenaantonendatdematrices(AT )T en A gelijkzijn. Datkunnenwedoendooraantetonendat(1)dematricesdezelfdeordehebbenen(2)het(i,j)-deelementvan (AT )T gelijkisaanhet(i,j)-deelementvan A (voorelke i en j).Welnu, (1) dematrices(AT )T en A hebbendezelfdeorde,want(vulaan): A ∈ Rm×n dus AT ∈ R × waaruit(AT )T ∈ R × (2) het(i,j)-deelementvan(AT )T isgelijkaanhet(i,j)-deelementvan A,want(vulaan): (AT )T ij = ... Uit(1)en(2)volgtnudat(AT )T = A

✸ Opontdekking. Heleen,eigenaresvandriekledingwinkels,verzameltdeofficieleverkoopcijfersvoordemaanddecember2022.

T-shirtbroekhemdsjaal

Aalter60302015 Brugge80653510 Gent12090800

matrix A =   60302015 80653510 12090800  

Daarnaastwerdener-hoewelditvolstrektillegaalis-inallewinkelsnogkledingstukkenzonderkasticket verkocht,dienietindeofficielecijfersterugtevindenzijn.Deextraverkoopwordtweergegevendoor: T-shirtbroekhemdsjaal Aalter105205 Brugge15204010 Gent0000

matrix B =   105205 15204010 0000  

Bepaaldematrix C diede(echte)totaleverkoopweergeeft. Oplossing. IndevestigingteAalterwordenvandeT-shirtsofficieel60stuksverkocht(want a11 =60)ennog eens10stukszonderfactuur(want b11 =10).DusgaanerteAalterintotaal70T-shirtsoverdetoonbank. Opanalogemaniervindenwe(vulaan)matrix C =   70 ............

  ✸ Definitie(somvanmatrices). Zij A en B twee m × n-matrices.Desom A + B isde m × n-matrixmetals (i,j)-deelement aij + bij . Insymbolen: (A + B)ij def = Aij + Bij ✸ Voorbeeld. Vulaan: ï12 1 230 ò 2×3matrix

+ ï 311 0 40ò 2×3matrix

= ï.........ò × matrix

. ✸ Eigenschap1. (i) Desomvaneen m × n-matrix A metde m × n nulmatrix(vandezelfdeorde)isdezelfdematrix A Insymbolen: ∀A ∈ Rm×n : A + Om×n = A = Om×n + A Menzegtdatdenulmatrix Om×n hetneutraalelement isvoordeoptellingvanmatricesin Rm×n (ii) Desomvaneen m × n-matrix A metz’ntegengestelde A isde m × n nulmatrix. Insymbolen: ∀A ∈ Rm×n : A +( A)= Om×n =( A)+ A ⋆ Eigenschap2. Wehebben deoptellingin Rm×n alsafbeeldinggeconstrueerd: +: Rm×n × Rm×n → Rm×n (A,B) → A + B

isassociatief:

✸ Opontdekking. Heleen,eigenaresvandriekledingzaken,verzameltdeverkoopcijfersvoordecember2022. T-shirtbroekhemdsjaal Aalter60302015 Brugge80653510 Gent12090800

matrix A =   60302015 80653510 12090800  

Heleenwileenschattingmakenvandeverkoopcijfersvoorhetgansejaar.Hoezietdegeschattematrix J van deverkoopcijfersvoor2022eruit?HouerrekeningmeedatHeleen´e´enmaandperjaardedeurensluit. Oplossing. IndevestigingteAalterwordenin´e´enmaandtijd60T-shirtsverkocht.Dusopeengansjaargaan erintotaal11 60=660T-shirtsoverdetoonbank. Opanalogemaniervindenwematrix J =   660 .........  (vulaan).

✸ Definitie(scalairevermenigvuldigingvaneenmatrixmeteenreeelgetal).7 Zij r eenreeelgetalen A een m × n-matrix.De(scalaire)vermenigvuldiging r A isde m × n-matrixmetals(i,j)-deelement r aij Insymbolen: (r A)ij def = r Aij ✸ Voorbeeld1. Vulaan:3 ï12 1 230 ò 2×3matrix

= ï......... .........ò × matrix ✸ Voorbeeld2. Gegevenzijndematrices A = ï1 12 02 3ò en B = ï2 2 3 10 1ò Bereken2A 3B.Controleermetbehulpvanjegrafischerekenmachine. Oplossing.

✸ Modelvoorbeeld(matrixvergelijking). Gegevenzijnmatrices A =   1 111 2001 4202   en B =   6026 10310 0141   Bepaalallematrices X dievoldoenaandevergelijking3A + 1 2 X =5B. Oplossing. ⋆ Eigenschap. Wehebben descalairevermenigvuldigingin Rm×n alsafbeeldinggeconstrueerd: : R × Rm×n → Rm×n (r,A) → r A

dievoldoetaandevolgendeeigenschappen: (5) descalairevermenigvuldigingin Rm×n isgemengd associatief: ∀r,s ∈ R, ∀A ∈ Rm×n :(r s) A = r (s A) (6) descalairevermenigvuldigingin Rm×n isdistributief tenopzichtevandeoptellingin Rm×n : ∀r ∈ R, ∀A,B ∈ Rm×n : r · (A + B)= r · A + r · B (7) descalairevermenigvuldigingin Rm×n isdistributief tenopzichtevandeoptellingin R: ∀r,s ∈ R, ∀A ∈ Rm×n :(r + s) A = r A + s A (8) hetreeelgetal 1 iseenneutraalelementvoorde scalairevermenigvuldigingin Rm×n : ∀A ∈ Rm×n :1 A = A

Omdatdeverzameling Rm×n voorzienvandeoptelling+endescalairevermenigvuldiging voldoetaaneigenschappen(1)-(8)noemenwezeeen(re¨ele)vectorruimte (oflineaireruimte),notatie R, Rm×n , +.

7Eenscalair (ookwelscalargenoemd,meervoudscalairen)duidtinderuimstezinopeengewoongetal.

✸ Opontdekking. Heleen,eigenaresvandriekledingzaken,verzameltde(offici¨ele)verkoopcijfersvoordemaanddecember2022.

T-shirtbroekhemdsjaal Aalter60302015 Brugge80653510 Gent12090800

matrix A =   60302015 80653510 12090800  

OpelkvandeverkochtekledingstukkenmaaktHeleenwinst,dieweergegeven wordtindevolgendetabel(ineuro). winst T-shirt5 broek15 hemd10 sjaal2

smaakvollekledij

matrix B = 

WelkewinstmaaktHeleenopdezevierkledingstukkenindevestigingteAalter,teBruggeenteGent? Oplossing. OpdeverkoopteAaltermaaktHeleeneenwinstvan 60 5+30 15+20 10+15 2=980 Bijdezebewerkingvermenigvuldigenwedeelementenvandeeersterijvandematrix A metdeovereenkomstige elementenvandekolomindematrix B entellenwedezeproductenop.Wezeggendatwedeeersterijvan A vermenigvuldigen metdekolomvan B.Ditnoterenweschematischals: 60302015

980 OmdewinstteBruggeenteGentteberekenen,moetenweookdetweederijendederderijvandematrix A vermenigvuldigenmetdekolomvandematrix B (vulaan):

winstmarge,weergegevenindevolgendetabel.

Indienwedeoudewinstmargegebruiken,welkewinstmaaktHeleenopdezevierkledingstukkenindevestiging teAalter,teBruggeenteGent?EnindienHeleenrekeninghoudtmetdenieuwewinstmarge? Oplossing. Metdeoudewinstmargeberekenenwedewinstdoordeeerste,detweedeendederderijvande matrix A tevermenigvuldigenmetde eerste kolomvandematrix C (zieboven). Metdenieuwewinstmargeberekenenwedewinstdoordeeerste,detweedeendederderijvandematrix A te vermenigvuldigenmetde tweede kolomvandematrix C

Definitie. Zij A een m × n-matrixen B een n × p-matrix.Devermenigvuldiging A B isde m × p-matrixmet als(i,j)-deelementhetgetaldatweverkrijgendoorde i-derijvan A alsvolgtte vermenigvuldigen metde j-de kolomvan B:

1123 03 20 

Controleerjeresultaatmetbehulpvanjegrafischerekenmachine. Oplossing. Controlemetbehulpvandegrafischerekenmachine(vulaan).

Voorbeeld3. Gegevenzijndriematrices A,B en C waarbij A een5 × 4-matrix, B een4 × 5-matrixen C een 6 × 4-matrixis.Geeftelkensaanofdebewerkingbestaatenzoja,watdeordeisvanderesulterendematrix. (a) A B (d) C B (b) B · A (e)(A · B) · C (c) A C (f)(C B) A Oplossing.

verbruikteCalorieenperuur lopenfietsenzwemmen 7501200600

Modelvoorbeeld1. Berthaweegt150kgenwenstgewichtteverliezenmeteen trainingsprogramma.HaaractiviteitenenverbruikteCalorieenperuurworden gegevenindevolgendetabellen.8 urenperdagperactiviteit lopenfietsenzwemmen maandag0, 50, 50 dinsdag001, 5 donderdag0, 510 vrijdag00, 51

BerekenmetbehulpvanmatriceshetaantalCalorieendatBerthaverbruiktopmaandag,dinsdag,donderdag envrijdag. Oplossing. Omintezienwelkebewerkingwemoetenuitvoeren,berekenenwebijvoorbeeldhetaantalCalorieen datBerthaverbruiktopmaandag: 750 0, 5+1200 0, 5+600 0=975

Metditvoorbeeldzienweinhoewemet´e´enmatrixvermenigvuldiginghetaantalverbruikteCalorienopmaandag, dinsdag,donderdagenvrijdagbepalen:

✸ Modelvoorbeeld2. Peterisdeeigenaarvanviertankstations.Perjaar verkoopthijgemiddelddevolgendehoeveelheden(uitgedruktinduizendtallen liter). station1station2station3station4 super122204107170 diesel214328197325

Devolgendetabelgeeftdegemiddeldebrandstofprijzenvandeafgelopenjaren (uitgedruktineuroperliter).9 superdiesel 20191, 54011, 5215 20201, 38611, 3679 20211, 60801, 5727 20221, 99212, 0037

Berekenmetbehulpvanmatricesdegemiddeldeomzetperjaarenpertankstation. Oplossing.

8Indevoedingswaardeberekeningenbijdietengebruiktmenvaakdebenaming Calorie (methoofdletter)voorkilocalorie,watsoms voorverwarringzorgt.Inbovenstaandetabelhebbendegetallendusweldegelijkalseenheidkilocalorie.Hetzijnzijnreelewaardenvoor iemandmeteengewichtvan150kgdielangzaamlooptaan6km/u,fietstaan20km/uenrustigzwemt.MerkopdatBerthanietsport opwoensdag,zaterdagenzondag(wantdaneetzetaartmethaarvriendinnen).

9Gemiddeldofficieeltariefincl.BTWvanbenzine98RONE10engasoliedieselB7,voor2022totopdatumvan6december2022.

Modelvoorbeeld3. Bewijsdevolgendeeigenschap:

∀A ∈ Rm×n , ∀B ∈ Rn×p :(A B)T = BT AT .

Bewijs. Datinhetalgemeen(A B)T = AT BT ,kunnenweinzienmetbehulpvaneenvoorbeeld(vulaan): voor A = ï12 34ò en B = ï56 78ò is(A · B)T = AT · BT

Omdeeigenschaptebewijzennemenwewillekeurigematrices A ∈ Rm×n en B ∈ Rn×p .

(1) Dematrices(A B)T en BT AT hebbendezelfdeorde. Inderdaad, (2) Het(i,j)-deelementvan(A B)T isgelijkaanhet(i,j)-deelementvan BT AT ,want(vulaan): enerzijdsis (A · B)T ij = terwijlanderzijds BT AT ij = ...

Uit(1)en(2)volgtdat(A B)T = BT AT .

⋆ Modelvoorbeeld4. Bewijsdat ∀n ∈ N0 : ï23 02òn =2n 1 ï23n 02 ò Bewijs. Webewijzendeformulevooralle n ≥ 1metinductieop n. 10

(i) Inductiebasis.Voor n =1isenerzijds ï23 02ò1 = ï23 02ò , terwijlanderzijds 21 1 · ï23 1 02 ò =1 · ï23 02ò

(ii) Inductiestap.Steldatdeformulewaarisvoor n = k (met k ≥ 1),dusdat ï23 02òk =2k 1 ·ï23k 02 ò (inductiehypothese)

Wemoetenaantonendatdeformuleookwaarisvoor n = k +1,dusdat ï23 02òk+1 =2k+1 1 ·ï23(k +1) 02 ò

Welnu(vulaan), ï23 02òk+1 = ï23 02òk ï23 02ò1 =

Uit(i)en(ii)volgtnudatdeformulegeldtvooralle n ≥ 1.

dominostenen

10Eeneigenschapdiegeldtvoorelknatuurlijkgetal n ≥ n0 wordtvaakelegantaangetoonddoormiddelvaneenbewijsmetinductie op n.Zo’nbewijsbestaatuittweedelen.Inheteerstedeel,datde inductiebasis wordtgenoemd,wordtaangetoonddatdeeigenschap geldtvoor n = n0.Inhettweededeel,de inductiestap,wordtaangetoonddatindiendeeigenschapgeldtvooreenbepaaldewaardevan n (bijvoorbeeld n = k)hijookgeldtvoordevolgendewaardevan n (ditisdan n = k +1).Deveronderstellingdatdetebewijzeneigenschap geldtvoor n = k noemenwede inductiehypothese

Alswedithebbenkunnenaantonen,danisdestellingbewezen.Immers,wekunnenalsvolgtredeneren.Deeigenschapiswaarvoor n0 (datwasdeinductiebasis)dusvolgtuitdeinductiestapdatdeeigenschapwaarisvoor n0 +1.Maardanvolgt,opnieuwwegensde inductiestap,datdeeigenschapwaarisvoor n0 +2,enzovoort.Daaruitvolgtdatdeeigenschapwaarisvooralle n ≥ n0

Eigenschap1.

(i) Devermenigvuldigingvanmatricesisassociatief. Insymbolen:11 (A · B) · C = A · (B · C) (ii) Devermenigvuldigingvanmatricesisdistributieftenopzichtevandeoptellingvanmatrices. Insymbolen:11 A (B + C)= A B + A C (A + B) C = A C + B C (iii) Devermenigvuldigingvaneen n × n-matrix A metde n × n eenheidsmatrix En isdezelfdematrix A Insymbolen: ∀A ∈ Rn×n : A En = A = En A

Menzegtdatdeeenheidsmatrix En heteenheidselement isvoordevermenigvuldigingvanmatricesin Rn×n ⋆ Eigenschap2. Wehebben devermenigvuldigingin Rn×n alsafbeeldinggeconstrueerd: : Rn×n × Rn×n → Rn×n (A,B) → A · B

dievoldoetaandevolgendeeigenschappen: (5’) devermenigvuldigingin Rn×n isassociatief: ∀A,B,C ∈ Rn×n :(A B) C = A (B C) (6’) devermenigvuldigingin Rn×n islinksdistributieftenopzichtevandeoptellingin Rn×n : ∀A,B,C ∈ Rn×n : A (B + C)= A B + A C (7’) devermenigvuldigingin Rn×n isrechtsdistributieftenopzichtevandeoptellingin Rn×n : ∀A,B,C ∈ Rn×n :(A + B) C = A C + B C (8’) eriseenneutraalelementvoordevermenigvuldigingin Rn×n : ∀A ∈ Rn×n : A En = A = En A

Omdatdecommutatievegroep Rn×n , +,dievoldoetaaneigenschappen(1)-(4),bovendienvoldoetaaneigenschappen(5’)-(8’)noemenwedeverzameling Rn×n voorzienvandeoptelling+endevermenigvuldiging een ring (meteenheid),notatie Rn×n , +, 12 Onderstaandefiguurtoonteenoverzichtvandeverschillendestructurenopdeverzameling Rn×n verzameling Rn×n +: Rn×n × Rn×n → Rn×n eig.1-3 groep Rn×n , + eig.4 commutatievegroep Rn×n , + · :

11...voormatrices A,B,C waarvoordebewerkingengedefinieerdzijn.Deassociativiteitvandevermenigvuldigingisniettriviaal.Voor eenvoorbeelddatdeassociativiteitduidelijkmaaktverwijzenwenaarOefening37.

12Hetbegrip ring isrond1870ontstaanuitpogingenomdezogenaamdeLaatsteStellingvanFermattebewijzen(zieDeelWatis wiskunde).Anderevoorbeeldenvanringenzijndegehelegetallen Z, +, derationalegetallen Q, +, endereelegetallen R, +, Dezeringen zijnallecommutatief.Deverzamelingvandenatuurlijkegetallen N isgeengroepvoordeoptellingendusookgeenring.

Voorbeeld4(machtvaneenmatrix).13 Berekenalgebraısch A3 waarbij A = ï 01 10ò encontroleerje resultaatmetbehulpvanjegrafischerekenmachine. Oplossing.

✸ Waarschuwing. Heelwatcouranteuitsprakeninverbandmetdevermenigvuldigingvanmatricesblijkenvals,waaronder:

(i) Voortweematrices A en B geldt nietnoodzakelijk dat A B = B A Dusdevermenigvuldigingvanmatricesis nietcommutatief

Voorbeeld. ï23 14ò A

ï73 21ò B

= ï73 21ò B

ï23 14ò A

= Indienvoortweevierkantematrices A en B toch A B = B A danzeggenwedat A en B commuteren. (ii) Voortweematrices A en B volgtuit A B =0 nietnoodzakelijk dat A =0of B =0.

Voorbeeld.   2 1 8 4 21   A

ï21 42ò B

= ... entochis A =0en B =0.

Indienervooreenmatrix A =0eenmatrix B =0bestaatwaarvoor A · B =0dannoemenwe A een linker-nuldeler

Indienervooreenmatrix A =0eenmatrix C =0bestaatwaarvoor C · A =0dannoemenwe A een rechter-nuldeler

Eenmatrix A =0diezoweleenlinker-nuldeleralseenrechter-nuldeleris,noemenweeennuldeler (iii) Voortweematrices A en B volgtuit A B = A C nietnoodzakelijk dat B = C

Voorbeeld. ï12 36ò A

· ï3 8 23 ò B

= ï12 36ò A

· ï52 1 2ò C

entochis B = C (iv) Vooreenmatrix A bestaat nietnoodzakelijk eenmatrix B waarvoor A B = En en/of B A = En.

Voorbeeld. Erbestaatgeenmatrix B waarvoor ï 12 2 4ò A

· ïb11 b12 b21 b22ò B

= ï10 01ò E2 Inderdaad,wilzo’n B bestaandanmoet...

Indienervooreenvierkante n × n-matrix A tocheenmatrix B bestaatwaarvoor A · B = En = B · A dan noemenwe A inverteerbaar (ofregulier).Eenmatrixdienietregulierisnoemenwesingulier

13Wegensdeassociativiteitvandevermenigvuldigingis(A A) A = A (A A),zodat A3 def = A A A ondubbelzinnigbepaaldis.Analoog voorhogerenatuurlijkemachtenvaneenmatrix.Perdefinitiesteltmen A0 gelijkaandeidentiekematrix En,omdatopdiemanierde rekenregel Am An = Am+n geldtvooralle m,n ∈ N

Grafentheorieiseentakvandewiskundewaarinmatriceseenfundamentelerolspelen.Grafentheoriekentveletoepassingen,onderandereindeinformatica(netwerken,eindigetoestandsautomaten,linkstructuurvanwebsitesen ordenenvandata),taalkunde(modellerenvansyntaxis,semantischenetwerken),scheikunde(beschrijvenvanmoleculairestructuren),natuurkunde(gecondenseerdematerie)ensociologie(beschrijvenvansocialenetwerken).

InToepassing1besprekenweeenwerkwijzeomhetaantalverbindingeningrafentetellen.Toepassing2handeltover toepassingenvangrafentheorieindemografie(migratievoorspellingen)enbiologie(populatievoorspellingen).

Toepassing1-Aantalverbindingeningrafen

✸ Opontdekking. Deonderstaandefiguuriseenvoorbeeldvaneengraaf.14 Hettoonthetaantaldagelijkse internationalevluchtentussendebelangrijksteluchthavensindedrielandenAlgerije,BrazilieenCanada.Het getalbijelkeverbindinggeeftaanhoeveelvluchtenerperdagzijntussendetweeluchthavens.Bijvoorbeeld, vanluchthaven b3 inBraziliezijnervierdagelijksevluchtennaarluchthaven c3 inCanada,maargeenenkele vluchtnaar c2 inCanada.

a1 a2

2 1

Berekenhetaantaldagelijksevluchtenvan ai naar cj meteentussenlandinginBrazilie(voorelke i en j). Algerije Brazilie Canada 2 1 3 1

b1 b2 b3 b4

3 2 2 1 4 1

c1 c2 c3

Oplossing. Uiteraardkunnenweallemogelijkhedenafzonderlijkuitrekenen.Maarzoalsjelaterzalmerken kunnenwezulkesoortproblemenwateffici¨enteraanpakken,namelijkmetbehulpvanmatrices.Omteherkennen overwelkematriceshetgaat,volgenwedevolgendestappen.

Stap1. Startmeteenvoorbeeld. Weberekenenbijvoorbeeld: aantalvluchtenvan a1 naar c1 viaBis 2 3 via b1

+ 1 2 via b2

+ 0 1 via b3

+ 1 0 via b4

=8 (∗) Analoogberekenjebijvoorbeeld: aantalvluchtenvan a2 naar c1 viaBis aantalvluchtenvan a2 naar c3 viaBis ...

14Eenformele,algemenedefinitievaneengraafluidtalsvolgt:een(eindige,gerichte)graaf iseenkoppeleindigeverzamelingen(P,L) waarbij L ⊆ P × P × N.Deverzameling P noemtmendepunten (ofknopen)vandegraafendeverzameling L noemtmendelijnen (of randen)vandegraaf.Is(a,b,n) ∈ L danmakenwedatvisueeldoor n lijnenvan a naar b tetekenen,ofdoor a met b met´e´enlijnte verbinden,voorzienvanhetgetal n.Kentmendaarenbovenaanelkelijneenreeelgetaltoe,danspreektmenvaneengewogengraaf

Stap2. HerkeninStap1eenvermenigvuldigingvanmatrices. Indebewerking(∗)herkennenwe: aantalvluchtenvan a1 naar c1 viaBis 2 1 0 1 

Analoogherkenje: aantalvluchtenvan a2 naar c1 viaBis

aantalvluchtenvan a2 naar c3 viaBis

Stap3. Voegallerijenineenmatrix P enallekolommenineenmatrix Q. Ommet´e´enbewerkinghetaantaldagelijksevluchtenvan ai naar cj viaBrazilieteberekenen,makenwevolgende matrixvermenigvuldiging: ï2 1 0 1 3 0 2 1ò P

 3 0 2 2 0 0 1 0 4 0 1 0





 Q

= Zoisbijvoorbeeldhetaantalvluchtenvan a2 naar c3 meteentussenlandinginBraziliegelijkaanhet(...,...)-de elementvandematrix P Q endatisgelijkaan...

Opmerking. Dematrix P stelthetaantaldirecteverbindingenvanAlgerijenaarBrazilievoor,ookwelde directe-wegenmatrix (of´e´enstapsverbindingsmatrix)vanAlgerijenaarBraziliegenoemd.

b1 b2 b3 b4 a1 2101 a2 3021 matrix P = ï2101 3021ò Pik =aantaldirectewegenvan ai naar bk. Denotatie a1 ↗ b1 wijstophetaantalwegen van a1 naar b1,namelijk a1 ↗ b1 =2. Analoogsteltmatrix Q dedirectewegenmatrixvanBrazilienaarCanadavoor.

✸ Modelvoorbeeld. Devolgendegraaftoonthetaantalmetroverbindingentussenvierstations s1, s2, s3 en s4

(a) Berekenmetbehulpvanmatriceshetaantalverbindingenvan si naar sj met´e´entussenstopineenwillekeurigestation(voorelke i en j).

(b) Watishetaantalverbindingenvan s2 naar s3 met´e´entussenstop?Lees ditafuitjeantwoordop(a).

(c) Berekenmetbehulpvanmatriceshetaantalverbindingenvan s4 naar s1 mettweetussenstopsinwillekeurigestations.Maakgebruikvanje grafischerekenmachine.

MetrovanLonden

(d) Berekenmetbehulpvanmatriceshetaantalverbindingenvan s1 naar s1 mettientussenstopsinwillekeurige stations.Maakgebruikvanjegrafischerekenmachine. s1

s2 s3

Oplossing.

s4

+ via s2

+ via s4 ...    ...

+ via s3

= (∗∗) Stap2. HerkeninStap1eenvermenigvuldigingvanmatrices. Indebewerking(∗∗)herkennenwe: aantalverbindingenvan s1 naar s4 via´e´entussenstopis ... ... ...     = ...

Stap3. Voegallerijenineenmatrix P enallekolommenineenmatrix Q. Ommet´e´enbewerkinghetaantalverbindingenvan si naar sj via´e´entussenstopteberekenen,makenwe volgendematrixvermenigvuldiging:

   ... ... ... ...     P    ... ... ... ...     Q =

(b) Hetaantalverbindingenvan s2 naar s3 met´e´entussenstopgelijkaanhet(...,...)-deelementvandematrix P 2 endatisgelijkaan...

III-15

(c) Hoekunnenwemet´e´enbewerkinghetaantalverbindingenvanstation si naar sj mettweetussenstops berekenen?

Hetberekenenkanmetbehulpvandegrafischerekenmachine.

2ND MATRIX EDIT 1:[A] 4 ENTER etc. 2ND QUIT

2ND MATRIX 1:[A] > ... ENTER >

Zoishetaantalwegenvan s4 naar s1 mettweetussenstopsgelijkaanhet(...,...)-deelementvande matrix endusgelijkaan...

Opmerking. Dematrix noemenwede...stapsverbindingsmatrixvandetotalegraaf (d) Hoekunnenwemet´e´enbewerkinghetaantalverbindingenvanstation si naar sj mettientussenstops berekenen?

Hetberekenenkanmetbehulpvandegrafischerekenmachine. Zoishetaantalwegenvan s1 naar s1 mettientussenstopsgelijkaanhet(...,...)-deelementvande matrix ... endusgelijkaan...

Opmerking. Dematrix ... noemenwede...stapsverbindingsmatrixvandetotalegraaf.

✸ Opontdekking. Webeschouweneeneenvoudigmodelvoordeverandering vanhetaantalinwonersineenbepaaldestadt.o.v.hetplatteland.

Ondersteldatiederjaar5%vandeinwonersvandestadverhuizennaarhet plattelandendatiederjaar3%vandeinwonersvanhetplattelandverhuizen naardestad.Stelin2022wonener60000mensenindestaden40000mensen ophetplatteland.

(a) Bepaalhetaantalinwonersindestadenophetplattelandnatweejaaren navijfjaar.Maakgebruikvanjegrafischerekenmachine.

(b) Naarwelkewaardeevolueerthetaantalmensenindestad?Maakgebruikvanjegrafischerekenmachine. Oplossing. Wekunnendemigratiebewegingvoorstellenmetbehulpvandevolgende(gewogen)graaf:

0, 97 0, 95

platteland stad

0, 05 0, 03

Ookhierkunnenwehetprobleemwatefficienteraanpakkenmetbehulpvanmatrices.Omteherkennenover welkematriceshetgaat,volgenwedevolgendestappen. Stap1. Startmeteenvoorbeeld. Weberekenenbijvoorbeeld: aantalmensenindestad na´e´enjaar: 0, 95 60000 aandeelvanstad

+ 0, 03 40000 aandeelvanplatteland

=58200. (∗) Analoogberekenjebijvoorbeeld: aantalmensenopplatteland na´e´enjaar: Stap2. HerkeninStap1eenvermenigvuldigingvanmatrices. Indebewerking(∗)herkennenwe: aantalmensenindestad na´e´enjaar: 0, 95 0, 03 ï60000 40000ò = 58200 .

Analoogherkenje: aantalmensenopplatteland na´e´enjaar: ï ... ò = ... Stap3. Voegallerijenineenmatrix P enallekolommenineenmatrix Q. Ommet´e´enbewerkinghetaantalmensenindestadenophetplattelandna´e´enjaarteberekenen,makenwe volgendematrixvermenigvuldiging: ï0, 95 0, 03 0, 05 0, 97ò P

ï60000 40000ò Q

=

Opmerking. Dematrix P steltde(procentuele)bijdragenvoordieeenplaats(stadofplatteland)genereertvoor eenandereplaats(stadofplatteland),ookweleenovergangsmatrix (ofmigratiematrix)genoemd.15

↙ stadplatteland

stad0, 950, 03 platteland0, 050, 97 matrix P = ï0, 950, 03 0, 050, 97ò Pij =proc.aandeelvanplaats j naar i.

Denotatie stad ↙ platteland wijstophetprocentueelaandeelbijovergang van stad naar platteland,namelijk stad ↙ platteland=0, 05.

15Eenovergangsmatrix iseenvierkantematrixwaarvoordesomvanelkekolomgelijkisaan1(=100%).

(a) Hoekunnenwemet´e´enbewerkinghetaantalinwonersindestadenophetplattelandnatweejaar berekenen?Ennavijfjaar?

(b) Hoekunnenwenagaannaarwelkewaardehetaantalmensenindestadevolueert?

Modelvoorbeeld. DebioloogK.Eversbestudeerteeninsectensoort.Hijbeschiktover3000eitjes,2000larvenen1000insecten.Elkelevensfase(ei,larve eninsect)duurt´e´enmaand.Hijplaatstdeeitjes,larveneninsectenineen afgeslotenruimte.Na´e´enmaandisdesituatiealsvolgt:

▷ Vandeeitjesis95%opgegetenofnietuitgekomen.Derestisuitgekomen.

▷ Vandelarvenheeft20%zichontwikkeldtotinsect.Derestisdood.

▷ Vandeoorspronkelijkeinsecteniserniet´e´enmeerover.Maarzehebben elkgemiddeld100eitjesvoortgebracht.

(a) Steldepopulatiebewegingvoormetbehulpvaneengraaf.

(b) Bepaalmetbehulpvanmatriceshetaantaleitjes,larveneninsectenna ´e´enmaand,tweemaandenenachtmaanden.

(c) Naarwelkewaardeevolueerthetaantaleitjes?Maakgebruikvanjegrafischerekenmachine. Oplossing.

(a) Wekunnendeovergangvandelevensfasenvoorstellenmetvolgende(gewogen)graaf: eitje larve insect 0, 05 0, 2

100

(b-c) Omteherkennenoverwelkematriceshetgaat,volgenweterugonsstappenplan. Stap1. Startmeteenvoorbeeld. Weberekenenbijvoorbeeld:

aantaleitjes na´e´enmaand: · aandeelvaneitjes + · aandeelvanlarven + · aandeelvaninsecten

Stap2. HerkeninStap1eenvermenigvuldigingvanmatrices. Indebewerking(∗∗)herkennenwe:

aantaleitjes na´e´enmaand:

= (∗∗)

Stap3. Voegallerijenineenmatrix P enallekolommenineenmatrix Q. Ommet´e´enberekeningdepopulatie(eitjes,larveneninsecten)na´e´enmaandtekennenmakenwede volgendematrixvermenigvuldiging:

Opmerking. Dematrix P steltdefractiesvoordieeenlevensfasegenereertvooreenanderelevensfase,ook weleenLeslie-matrix (ofpopulatievoorspellingsmatrix)genoemd.16 16

EenLeslie-matrix iseenvierkantematrix P waarvanenkeldeelementenopdeeersterijendeelementenvlakonderdediagonaal mogenverschillenvanhetgetal0.HetmodelvanLeslie(beschrevendoordeecoloogPatrickHoltLeslie1945)vereisteenpopulatiedie nietonderhevigisaanmigratieenwaarbijslechts´e´ensexe,meestaldevrouwelijke,wordtbeschouwd.

(b) Hoekunnenwemet´e´enbewerkinghetaantaleitjes,larveneninsectennatweemaandenberekenen?En naachtmaanden?

(c) Hoekunnenwenagaannaarwelkewaardehetaantaleitjes,larveneninsectenstreeft?

1MatricesBasisVerdiepingUitbreiding ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

1.1Definities,notatiesenvoorbeelden1 2 3 4

1.2Optellingvanmatrices

1.3Vermenigvuldigingvaneenre¨eelgetalmeteen matrix

4 5 6

4 7 8

889

10 11 12131414

1.4Vermenigvuldigingvanmatrices15 16 17

18 19 20 21

21 22 23 24

1.5Toepassingen3839 40 41

Oefeningenbij 1.1

B Oefening1. Gegevenzijndematrices A =   1 3 0 2 1113   en B = 18

(a) Vulaan: A ∈ R···× en B ∈ R···×

21 25 26 27

21 28 29

30 31 32

33 34 3536 37

4243

(b) Bepaaldetegengesteldematrixvan A endetegengesteldematrixvan B (gebruikdecorrectenotatie). (c) Bepaaldegetransponeerdematrixvan A endegetransponeerdematrixvan B (gebruikdecorrectenotatie).

B Oefening2. Gegevenzijndematrices A = ï1 10 203ò en B =   30 14 05  .Bepaal AT , BT en(AT )T

B Oefening3. Gegevenzijndematrices A = ïx 12 0 x2 y 3ò waarbij x,y ∈ R en B = ï112 023ò Bepaaldewaarde(n) x,y ∈ R waarvoordematrices A en B gelijkzijn. Oefening4. Waarofvals?Beoordeeldevolgendeuitspraken.Indienvals,geefeentegenvoorbeeld.

B (a) Erisgeenenkelematrixdiezoweleenrijmatrixalseenkolommatrixis.

B (b) Alseenbovendriehoeksmatrixookeenonderdriehoeksmatrixis,danisdiematrixeendiagonaalmatrix.

B (c) Elkesymmetrischematrixiseenvierkantematrix.

B⋆ (d) Eennulmatrixiseenscalairematrixwaarvandediagonaalelementengelijkzijnaanhetgetal0.

B⋆ (e) Dediagonaalelementenvaneenscheefsymmetrischematrixzijngelijkaanhetgetal0.

B⋆⋆ (f) Alseensymmetrischematrixookscheefsymmetrischis,danisdiematrixeennulmatrix.

B⋆⋆ (g) Alsweeenscheefsymmetrischematrixtransponerendanverkrijgenweeensymmetrischematrix.

B⋆ Oefening5. Gegevenzijndeverzamelingen {(a1,a2,a3) | ai ∈ R} en a1 a2 a3 | ai ∈ R .Welkeverzameling stelt R1×3 voorenwelkeverzamelingstelt R3 voor? B⋆ Oefening6.

(a) Bepaal a,b,c ∈ R zodatdematrix A =    2a b +800 0 3a b + c 72c 0 1 3 a + b +78    eenscalairematrixis.

(b) Bepaal p,q,r ∈ R zodatdematrix B =   0 p 73q 8 80 5 953r   scheefsymmetrischis.

Oefening7.

(a) Bepaalde2 × 2-matrix A waarvoor aij = i + j

(b) Bepaalde3 × 2-matrix B waarvoor bij =2 i + j2

(c) Bepaalde2 × 2-matrix C waarvoor cij = ®5i j als i ≥ j, 0als i<j. Oefening8. Bewijsdevolgendeeigenschappen.

B⋆⋆ (a) ∀A ∈ Rm×n :( A)T = (AT )

V (b) Zij A eensymmetrischematrix.Bewijsdat A scheefsymmetrischisalsenslechtsals A denulmatrixis.

V⋆ (c) Zij A eenscheefsymmetrischematrix.Bewijsdatalleelementenopdediagonaalgelijkzijnaan0.

U Oefening9(nagaanvaneen(scheef)symmetrischematrixmetdegrafischerekenmachine). Onderstaand eenmanierommetbehulpvandegrafischerekenmachinetecontrolerenofeenmatrix A (scheef)symmetrischis.De waarde0staatvoorvals,1staatvoorwaar(zieDeelLogica).

2ND TEST 1:=

(a) Watkunjebesluitenoverdematrix A dieinbovenstaandvoorbeeldingevoerdwerd?

(b) Zij A eenvierkantematrixdienochsymmetrischnochscheefsymmetrischis.Geefdeoutputvoordeuitspraak [A]T =-[A] envoordeuitspraak [A]T =[A].Controleermetjegrafischerekenmachine. Oefeningenbij 1.2en 1.3 B Oefening10. Gegevenzijndematrices A = ï21 1 3ò ,B = ï0 1 13 ò en C = ï010 010ò Berekenalgebraıschdevolgendematrices(indienmogelijk).Controleermetbehulpvanjegrafischerekenmachine. (a) A + B (d) AT + BT (b) A + C (e)(A + B)T (c) AT B (f) B + BT B Oefening11. Berekenalgebraıschdematrix5 A 3 B waarbij A = ï01 1 237 ò en B = ï1 15 019ò B⋆ Oefening12. Gegevenzijndematrices U = ï 8 1 uu ò waarbij u ∈ R, T = ï t2 t 2t tò waarbij t ∈ R, W = ï 12w 1 w 2ò waarbij

B Oefening15. Berekenhet(2, 3)-deelementvan A B enhet(3, 1)-deelementvan A B waarbij A =   13 23 5 2   en B = ï20 4 312 ò

B Oefening16. Gegevenzijndematrices A = ï1031 202ò ,B =   130 121 001   en C =   10 03 12   . Berekenalgebraıschenindienmogelijk B AT B C

B Oefening17. Gegevenzijnmatrices A = ï12 34ò en B = ï1 2 02 ò.Gatelkensnametjegrafischerekenmachine. (a)(A + B)2 ? = A2 +2 A · B + B2 (e)(5 · A)T ? = 5 · AT (b)(A B) (A + B) ? = A2 B2 (f)(A B)T ? = AT BT (c)(A · B)2 ? = A2 · B2 (g)(A · B)T ? = BT · AT (d)(A + B)T ? = AT + BT (h)(A AT )T ? = A AT B⋆ Oefening18. Gegevenzijndematrices A =   12 2 021 2 15   ,B = ï106 210ò en C =   178 a 21 013   waarbij a ∈ R

Berekenalgebra¨ıschdevolgendematrices(indienmogelijk).Controleermetbehulpvanjegrafischerekenmachine. (a) A · B (d) A3 (b) A BT (e)3B (c) B A (f) B C B⋆ Oefening19. Gegevenmatrix A = ï11 01ò,bepaalallematrices X dievoldoenaandevergelijking2(X +2E2)= A2 B⋆ Oefening20. Zij A,B,C matricesvanorde n × n.Waarofvals?Beoordeeldevolgenderedenering. A B = A C ⇒ A B A C =0

A · (B C)=0 ⇒ A =0of B C =0 ⇒ A =0of B = C

Oefening21. Tweebroertjes,JacobenJohann,hebbenelkhuneigenkip.Demama, dieeenwiskundejufis,noteertperdaghetaantaleierendatelkekipgelegdheeft.Ze zetdegegevensineentabel: madiwodovrzazo kipvanJacob2130121 kipvanJohann1121011 Noem K dematrixdiemetbovenstaandetabelgeassocieerdwordt. B⋆ (a) Steleenmatrix D op,zodatwein K D kunnenaflezenhoeveeleierenelkekip gelegdheeftopdinsdag. B⋆⋆ (b) Steleenmatrix W op,zodatwein K W kunnenaflezenhoeveeleierenerper kipgelegdzijninhetweekend. V (c) Steleenmatrix G op,zodat G K aangeefthoeveeleierenerperdagbeschikbaarzijnvoorhetgezin. V⋆ (d) Steleenmatrix R op,zodatwein K R kunnenzienhoeveeleierenelkekipgemiddeldperdaglegt.

Oefening22. Bepaaldewaarde(n)voor a,b,c ∈ R waarvoor   b aa + c bb + c 04c   ï41 20ò =   4a +4c 1 142 8a 0  

B⋆⋆ Oefening23. Als A een2 × 4-matrixisen F = A · C T BT T een5 × 2-matrix,berekendandeordevan B en C

B⋆⋆ Oefening24. Gegeveniseen n × n-matrix A dieidempotentis(zieOefening33).Bereken(2A En)2

V Oefening25. Toonaandatdematrix A = ï 1 3 39 ò eennuldeleris.

V Oefening26. Bewijsdevolgendeeigenschappen.

(a) ∀A ∈ Rn×n : A · En = A = En · A (b) ∀A ∈ Rm×n :(A AT )T = A AT (c) ∀A ∈ Rm×n , ∀B,C ∈ Rn×p : A (B + C)= A B + A C (d) ∀A,B ∈ Rm×n , ∀C ∈ Rn×p :(A + B) C = A C + B C

V Oefening27. Bewijstelkensmetbehulpvanvolledigeinductie.

(a) ∀n ∈ N0 : ï1 1 01 òn = ï1 n 01 ò (b) ∀n ∈ N0 : ï30 53òn =3n 1 · ï 30 5n 3ò (c) ∀n ∈ N0 :   213 024 002   n =2n 1 ·   2 nn(n +2) 024n 002   (d)Als A2 = A danis An = A voorelke n ∈ N0.

V⋆ Oefening28. Zij A en P twee n×n-matriceswaarbij A symmetrischis.Toonaandat P T A P ookeensymmetrische matrixis.

V⋆ Oefening29. Nadeappelplukwordtdeoogstgesorteerd.Elkesorteerderheefteen grotebakmetzesdeelvakken:horizontaaldriemetdebedoelingdriegroottecategorieenteonderscheiden,verticaaltweeomonderscheidtemakentussengaaffruiten ietsmindergoedgevormdeexemplaren.Deinhoudvandevakkenwordtgewogenen ineenschemagenoteerdovereenkomstigmetdeindelingvandebak.Hetresultaat vanzo’nschemaisbijvoorbeeld:

grootnormaalklein gaaf11, 337, 618, 1 mindergaaf19, 422, 214, 7

(a) Steldematrix A opdiewemetbovenstaandschemaassoci¨eren.

(b) Stelmatrices G en H op,zodatwemet G · A · H detotalehoeveelheidfruitvandegrootstecategoriekunnen berekenen.

(c) Stelmatrices S en T op,zodatwemet S A T detotalehoeveelheidgaaffruitkunnenberekenen.

V⋆⋆

V⋆⋆

Oefening30. Zij A een2 × 2-matrixwaarvoor A ï1 3ò = ï4 5ò en A2 A +5E2 =0.Bepaal A.

Oefening31. Gegevenisdematrix A = ïab cdò waarbij a,b,c,d ∈ R.

(a) Toonaandat A2 =(a + d) A (ad bc) E2

(b) Zoekmetbehulpvan(a)eenidempotentematrix A (zieOefening33).

(c) Zoekmetbehulpvan(a)eeninvolutorischematrix A (zieOefening33).

(d) Zoekmetbehulpvan(a)eennilpotentematrixmetindex2(zieOefening33).

(e) Bewijs:als A3 =0danis A2 =0.

Oefening32. Eenrijvanpunten P1,P2,P3,... inhetvlakmetco(Pi)=(ai,bi)voldoetaan (ai+1,bi+1)=(√3 ai bi, √3 bi + ai) voorelke i ∈ N0.Bovendienis(a100,b100)=(2, 4).Bepaal a1 + b1 Aanwijzing. MaakgebruikvanOefening35.

U Oefening33(bijzonderematrices). Indezeoefeningbesprekenwedriebijzonderesoortenmatrices.

(a) Een n × n-matrix A noemtidempotent als A2 = A.Ganadatdevolgendematrixidempotentis:17 A =   2 2 4 134 1 2 3  

(b) Een n × n-matrix A noemtinvolutorisch als A2 = En.Ganadatdevolgendematrixinvolutorischis: A =   10 1 814 001  

(c) Een n × n-matrix A noemtnilpotent alsereennatuurlijkgetal k bestaatwaarvoor Ak = On.Dekleinste positievewaardevoor k wordtdeindex van A genoemd.Ganadatdevolgendematrixnilpotentisenbepaal deindexvan A: A =   10 1 2 3 √20 3 √4+ 3 √2+11 3 √2 1  

U Oefening34(substitutievaneenmatrixineenveelterm). 18 Vooreenveelterm P (x)= a0 + a1x + ··· + amxm eneenmatrix A ∈ Rn×n isdesubstitutievandematrix A indeveelterm P (x)gelijkaande n × n-matrix P (A) def = a0A0 + a1A1 + a2A2 + + amAm Zij P (x)= x2 4x 5en A =   122 212 221  .Toonalgebraıschaandat P (A)=0.

U⋆ Oefening35(rotatiesinhetvlak). Voorelke(georienteerde)hoek α stellenwe Aα def = ïcos α sin α sin α cos α ò

(a) Zij P (x,y) = O eenpuntinhetvlaken Q(x′,y′)hetpuntdatweverkrijgendoorhetpunt P overeenhoek α teroterentenopzichtvandeoorsprong.Bewijsdat Aα ïx yò = ïx′ y′ò . Omdezeredennoemtmendematrix Aα eenrotatiematrix

(b) Bewijsdatvoortweehoeken α en β geldtdat Aα Aβ = Aα+β .Watisdemeetkundigebetekenis?

(c) Bewijsdatvoorelkehoek α geldtdat ∀n ∈ N :(Aα)n = Anα.Watisdemeetkundigebetekenis? (d) Bewijsdat ∀n ∈ N0 : A2π/n n = E2.Watisdemeetkundigebetekenis? U

Oefening37(devermenigvuldigingvanmatricesisassociatief). Eengroothandelaarbiedtzijnklanten-winkelierseenreekspakkettengroentenenvleesaan. Hijheefttweesoortenklanten:bevoorrechten,d.w.z.regelmatigeafnemersengewoneklantendieafentoeeensbestellen.Bevoorrechteklantenkrijgenaltijdeen interessanteprijs.Deverkoopprijsvandegroentenenhetvleesisalsvolgtvastgelegd (uitgedruktinaantaleuroperkilogram):

groentenvlees bevoorrechteklanten0, 255 gewoneklanten0, 36, 2 matrix A = ï0, 255 0, 36, 2ò

Degroothandelaarbiedtopeenbepaaldmomentdevolgendepakkettenaan(uitgedruktinaantalkilogramperpakket): pakket1pakket2pakket3 groenten1009080 vlees102030 matrix B = ï1009080 102030ò

Tweewinkeliersreagerenopdataanbodenbestellen.Degegevenswordenvoorgesteldinvolgendetabel(uitgedrukt inaantalpakkettenperwinkelier): winkelier1winkelier2 pakket168 pakket279 pakket3510

matrix C =   68 79 510   .

(a) Degroothandelaarwilwetenhoeveelkilogramgroentenenvleeselkewinkelierbestelde.Welkematrixvermenigvuldigingrekenjedaarvooruit?

(b) Berekennu A · (B · C).Watsteltdezematrixvoor?

(c) Eenwinkelierwilwetenwatdeprijzenzijnperpakket,zowelvoorbevoorrechtealsgewoneklanten.Welke matrixvermenigvuldigingrekenjedaarvooruit?

(d) Berekennu(A B) C.Watsteltdezematrixvoor?

Uit(b)en(d)besluitenwe A (B C)en(A B) C dezelfdebetekenishebben.Ditisdeintrinsiekeredenwaarom dezematricesgelijkmoetenzijnenwaarominhetalgemeendevermenigvuldigingvanmatricesassociatiefis.

Oefeningenbij 1.5

Oefening38. ErgensindeStilleOceaanbevindtzicheenklein eilandengroepje.Tussenvijfverschillendeeilandjesvaartopregelmatige tijdstippeneenveerboot,zoalsaangeduidopnevenstaandegraaf.

B (a) Bepaaldedirecte-wegenmatrixvandetotalegraaf.

B (b) BerekenmetbehulpvanmatriceshetaantalverbindingenvanE naarCmet´e´entussenstopopeenwillekeurigeiland.

B (c) BerekenmetbehulpvanmatriceshetaantalverbindingenvanA naarCmettweetussenstopsopeenwillekeurigeiland.

V (d) Ishetmogelijkomviatenhoogste´e´entussenstopvanomheteven welkeilandnaaromhetevenwelkeilandtegaan?Losopmet behulpvanmatrices.

Oefening39. Eenfokkerwenstdeinvloedtekennenvandejaarlijkseverkoopvan(volwassen)dierenopdekudde. Na´e´enjaariselkjongdiervolwassen.Hetaantaldierendatgeborenwordtis50%vandevolwassendierenvanhet jaarvoordienen20%vandejongedierenstervenhetjaarnadien.Erstervenook20%vandevolwassendierenhet jaarnadienen60%vandevolwassendierenwordenhetjaarnadienverkocht.Ondersteldateraanvankelijk70jonge dierenzijnen30volwassendieren.

(a) Steldeevolutievandedierenvoormeteengraaf.

(b) Berekenmetbehulpvanmatriceshetaantaljongeenvolwassendierenna4jaar.

(c) Naarwelkewaardeevolueerthetaantaljongeenvolwassendieren?

Oefening40. Drietelefoonmaatschappijen B, M en P delendeBelgischemarkt.20 Maatschappij B heeft20%van demarktinhanden, M bezit60%en P neemt20%voorzijnrekening.Indeloopvaneenjaardoenzichdevolgende wijzigingenvoor:

✸ maatschappij B behoudt85%vandeklanten,terwijlhet5%aan M en10%aan P verliest;

✸ maatschappij M behoudt55%vandeklanten,terwijlhet10%aan B en35%aan P verliest;

✸ maatschappij P behoudt85%vandeklanten,terwijlhet10%aan B en5%aan M verliest. Wenemenaandatdezewijzigingzichelkjaaropnieuwvoordoet.

(a) Steldeevolutievandemarktvoormeteengraaf.

(b) Bereiktdemarkteenevenwichtnaarmatedejarenverstrijken?Losopmetbehulpvanmatrices.

Oefening41. Degroeivaneenpopulatievissenwordtvaakgekenmerktdoorhogevruchtbaarheidscijfersendoor eenlageoverlevingskansvoorpasgeborenexemplaren.EenpopulatievissenvoldoetaanhetLeslie-model,devolgende gegevenszijnbekend:

✸ slechts0, 5%vandeeitjeskomtuitenhaaltheteerstelevensjaar,

✸ ´e´enjarigenhebben40%kansomhetjaarteoverleven,

✸ geenvandevissenhaaltdeleeftijdvandriejaar,

✸ alleentweejarigevissenkunnennakomelingenhebben,gemiddeldlegtzo’nvis800eitjes.

(a) Steldeovergangvandelevensfasesvoormeteengraaf.

(b) SteldeLeslie-matrixop.

(c) Eenbioloogvangtduizendvisjes:500´e´enjarigenen300tweejarigen.Hijheeftook100000eitjes.Hijlaatzijn vangstweervrijineennieuweomgeving.Hoeisdepopulatienaachtjaar?

V Oefening42. Webekijkenerfelijkeeigenschappendiegecontroleerdwordendoor tweegenen,genoteerd A en a.Demogelijkecombinatieszijn AA, Aa en aa.Zo’n parennoemtmengenotypes.Bijleeuwebekkenwordtdekleurvandebloembepaald doortweegenen: AA geeftrodebloemen, Aa rozebloemenen aa wittebloemen.

genotypeouders

genotype nakomeling AA AAAA AaAA aaAa AaAa aaaa aa AA 10,500,2500 Aa 00,510,50,50 aa 0000,250,51

Detabelwordtalsvolgtgelezen:alsbijvoorbeeldbeideoudersgenotye Aa heben,danisdekansdatdenakomeling genotype aa heeftgelijkaan0, 25.Eenkwekerheeftleewebekkenvaniedergenotype:noem x0 hetpercentageplanten vangenotype AA, y0 hetpercentageplantenvangenotype Aa en z0 hetpercentageplantenvangenotype aa.Iedere plantwordtbevruchtmethetzelfdegenotype.

(a) Steldeevolutievandeplantenvoormeteengraaf.

(b) Naarwelkewaardeevoluerendepercentagesrode,rozeenwittebloemen?

U Oefening43(sterkregulieregrafen). Vooreenaantalsteden(noemditaantal n) wilmeneenvluchtschemavoorvliegtuigenontwerpenwaarbijvolgendevoorwaarden voldaanmoetenzijn:voorelkestadisereendirectevluchtvanennaarhetzelfde aantalstedenentussenelketweestedeniserjuist´e´envluchtmethoogstens´e´en tussenstop.Grafendieaandezeeigenschapvoldoen,noemtmensterkregulier 21 Ga nadatvoor2 ≤ n ≤ 5enkel n =2en n =5eenoplossingkent.

20Enigegelijkenismetbestaandemaatschappijenberustoptoeval.

21Menkanaantonendatervoor n ∈{6, 7, 8, 9} geensterkregulieregraafis,maarvoor n =10wel:dezogenaamdePetersen-graaf, genoemdnaarJuliusPetersen 1898maareerderontdektdoorSirAlfredBrayKempe 1886[11].

Lineairestelselseninverteerbarematrices

Hetoplossenvanstelselsspeelteenprominenterolindeingenieurswetenschappen,fysica,chemie,informaticaen economie.Indithoofdstukbesprekenwealgoritmenomdeoplossingenvaneenlineairstelseltevinden.1 Inde oplossingsverzamelingwordthetaantalvrijheidsgradenbepaalddoortweegetallen:dezogenaamderangvande coefficientenmatrixenderangvandeuitgebreidematrix.Inhetalgemeenkunnenwesprekenoverderangvaneen matrix,wienswaardebepalendblijktvoorhetaldannietinverteerbaarzijnvandematrix.

2.1Lineairestelsels

✸ Voorbeeld1. Opeenboerderijlopenkippenenkonijnenrond,intotaalzijn zemet13.Samenhebbendezedieren36poten.Hoeveelkippenenhoeveel konijnenzijner?Losalgebraıschop. Oplossing. Noemenwe x hetaantalkippenen y hetaantalkonijnen,dankunnen wehetvraagstukherleidentoteenstelsel S ®x + y =13 2x +4y =36 Wenoemenhetstelsel S eenlineairstelselvantweevergelijkingenintwee onbekenden,ofkortwegeen2 × 2-stelsel.Hetstelselnoemenwelineair omdat heteeneindigstelvanlineairevergelijkingenineeneindigaantalonbekendenis, hier x en y.Inhetderdejaarhebjedrietechniekengezienomzo’nstelselalgebraıschoptelossen.

1. Gelijkstellingsmethode. ®x + y =13 2x +4y =36 ⇔ ®x =13 y x =18 2y ⇔ ®x =13 y 13 y =18 2y ⇔ ®x =13 y y =5 ⇔ ®x =8 y =5 2. Substitutiemethode. ®x + y =13 2x +4y =36 ⇔ ®x =13 y 2x +4y =36 ⇔ ®x =13 y 2(13 y)+4y =36 ⇔ ®x =13 y y =5 ⇔ ®x =8 y =5 3. Combinatiemethode. ®x + y =13 |· ( 2) 2x +4y =36 |· 1 ⇔ ® 2x 2y = 26 2x +4y =36 ⇔ ®x =8 y =5 + 2y =10 Meetkundigstellendetweevergelijkingentelkenseenrechteinhetvlakvoor.Hetsnijpuntvandezetwee rechtengeeftdeoplossingvanhetstelselweer.WenoterenOpl S = {(8, 5)}

1Eenalgoritme iseensystematischezoekstrategiediegegarandeerdtotdejuisteoplossingleidt.Zo’nalgoritmebestaatuiteen eindige reeksinstructiesomvanuiteengegevenbegintoestandhetdaarbijbehorendedoeltebereiken.Denkbijvoorbeeldaanheteuclidisch algoritmedatdepositievegrootstegemenedelervantweegehelegetallenbepaalt.

✸

Voorbeeld2. Opeenboerderijlopenganzen,schapen,koeienenvarkens,in totaalzijnzemet65.Samenhebbendezedieren244potenen114oorschelpen. Bepaal(indienmogelijk)hetaantalvanelkesoort. Oplossing. Noemenwe x1 hetaantalganzen, x2 hetaantalschapen, x3 het aantalkoeienen x4 hetaantalvarkensdankunnenwehetvraagstukherleiden toteenstelsel: S 

 x1 + x2 + x3 + x4 =65 2x1 +4x2 +4x3 +4x4 =244 2x2 +2x3 +2x4 =114



Ganzenhebbengeenoorschelpen.

Ditiseenlineairstelselvandrievergelijkingeninvieronbekenden,kortwegeen3 × 4-stelsel.Omopeenvlotte manierdeoplossing(en)vanzo’nstelseltebepalenmoetenwenieuwetechniekenaanleren.

Opontdekking1. Bepaal(algebraısch)alleoplossingenvanhetstelsel:

x1 + x3 2x4 =0 x2 =7 x5 = 1

Oplossing. Ditiseenlineairstelselvandrievergelijkingeninvijfonbekenden,kortwegeen3 × 5-stelsel. Hetstelselisindiemate eenvoudig datwedeoplossingenvrijwelmeteenkunnenaflezen:onmiddellijkvolgt x2 =7en x5 = 1.Verder,kiezenwe x3 vrij(eenwillekeuriggetal r)en x4 vrij(eenwillekeuriggetal s)dan ligt x1 vast(namelijk x1 = r +2s).Dus: S

x1 + x3 2x4 =0 x2 =7 x5 = 1 ⇔

x1 = r +2s x2 =7 x3 = r x4 = s x5 = 1

(r,s ∈ R)

Antwoord. Elkeoplossingvan S isvandevorm( r +2s, 7,r,s, 1)vooreenzekere r,s ∈ R.Deverzameling vanalleoplossingennoemenwedeoplossingsverzamelingvanhetstelsel S ennoterenwemetOpl S.Zovinden we:

Opl S = {( r +2s, 7,r,s, 1) | r,s ∈ R}

Bijvoorbeeld,kies r =0en s =0danis(0, 7, 0, 0, 1)eenoplossingvanhetstelsel S kies r =1en s =0danis( 1, 7, 1, 0, 1)eenoplossingvanhetstelsel S kies r =2en s = 3danis( 8, 7, 2, 3, 1)eenoplossingvanhetstelsel S .

Wenoemen r en s deparameters indeoplossingsverzameling.

✸ Opontdekking2. Bepaal(algebraısch)deoplossingsverzamelingvanhetstelsel:



 2x1 +4x2 10x3 +12x4 =28 2x3 +7x4 =12 3x1 +6x2 10x3 + x4 =13

Oplossing. Hetstelsel S iseenlineairstelselvandrievergelijkingeninvieronbekenden. Wecontrolerenbijvoorbeelddat (7, 0, 1, 2) ∈ Opl S en(14, 0, 0, 0) / ∈ Opl S.

Om alle oplossingentevindenhalenweinspiratieuitOpontdekking1:wevervangenhetstelsel S dooreen nieuwstelsel S′ datdezelfdeoplossingsverzamelingheeftendat eenvoudig is,indiezindatwedeoplossingen vrijwelmeteenkunnenaflezen.

Omzo’nnieuw eenvoudig stelseltevindenmakenwegebruikvanvolgendeelementaireoperaties:

Operatie1. Verwisseltweevergelijkingen.

Operatie2. Vermenigvuldigeenvergelijkingmeteenreeelgetalverschillendvanhetgetal0.

Operatie3. Telbijeenvergelijkingeenveelvoudopvaneenanderevergelijking.

Elkvandezeoperatiesgeefteennieuwstelselmetdezelfdeoplossingsverzamelingalshetvorigstelsel.

BijheteliminatiealgoritmevanGauss doorlooptmendevolgendedriestappen.2

Stap1. Brengdelinkerniet-nulkolomtotdevorm

1 xi ∗· xi .

Inonsvoorbeeldisditdeeerstekolom.Wedelendaartoedeeerstevergelijkingdoor2. S

2x1+4x2 10x3+12x4 =28 2x3+7x4 =12 3x1+6x2 10x3+ x4 =13

x1+2x2 5x3+6x4 =14 2x3+7x4 =12 3x1+6x2 10x3+ x4 =13

doorOperatie3toetepassen. Inonsvoorbeeldtellenwebijdederdevergelijking 3keerdeeerstevergelijkingop. S



2x1+4x2 10x3+12x4 =28 2x3+7x4 =12 3x1+6x2 10x3+ x4 =13



x1+2x2 5x3+6x4 =14 2x3+7x4 =12 5x3 17x4 = 29 Stap3. BedekdeeerstevergelijkingenpasStap1enStap2toeophetdeelstelseldatoverblijft.BlijfStap3 herhalentotjeallevergelijkingendoorlopenhebt.Inonsvoorbeeldwordtdit: S

2x1+4x2 10x3+12x4 =28 2x3+7x4 =12 3x1+6x2 10x3+ x4 =13

x1+2x2 5x3+6x4 =14 2x3+7x4 =12 5x3 17x4 = 29

x

1+2x2 5x3+6x4 =14 x3 7 2 x4 = 6 1 2 x4 =1

3 7 2 x4 = 6 x4 =2

BijheteliminatiealgoritmevanGauss-Jordan doorlooptmennadezedriestappenooknogeenvierdestap.

doorOperatie3toetepassen. Inonsvoorbeeldwordtdit:

1+4x2 10x3+12x4 =28 2x3+7x4 =12

x1+6x2 10x3+ x4 =13

Hetstelsel S′′ heeftdezelfdeoplossingsverzamelingalsstelsel S.Deoplossingenvan S′′ kunnenwevrijwelmeteen aflezen:

x1 =7 2r x2 = r x3 =1 x4 =2 (r ∈ R). Antwoord. DeoplossingsverzamelingvanhetstelselisgelijkaanOpl S = {(7 2r,r, 1, 2) | r ∈ R}. Hetvergtergveelschrijfwerkomdezeeliminatie-algoritmestedoorlopen.Daaromgebruikenweinhetvervolg Derdemanier-GaussenGauss-Jordaneliminatie-algoritmemetmatrices Wekunnenhetstelsel S ookschrijvenals´e´enmatrixvergelijking:

Rijoperatie2. Vermenigvuldigeenrijmeteenreeelgetalverschillendvanhetgetal0.

Rijoperatie3. Telbijeenrijeenveelvoudopvaneenandererij. 3In1888wistdeDuitswiskundigeenlandmeterWilhelmJordan [10]destabiliteitvanhetalgoritmevanGaussteverbeteren. DezemethodewerdinhetzelfdejaarenonafhankelijkvanJordanbeschrevendoordeLuxemburgsewiskundigeBernardIsidoreClasen[4].

III-31

doorlooptdevolgendedriestappenopdeuitgebreidematrix[

1 ∗ . ∗ doorRijoperatie1,2en3toetepassen. Stap2. BrengdekolomuitStap1totdevorm

Stap1. Brengdelinkerniet-nulkolomtotdevorm

1 0 . 0

doorRijoperatie3toetepassen.

Stap3. BedekdeeersterijenpasStap1enStap2toeopdedeelmatrixdieoverblijft.BlijfStap3herhalen totjeallerijendoorlopenhebt.

eliminatie-algoritmevanGauss-Jordan doorlooptmennaStap1,2en3ooknog:

Onthouddatjedeniet-hoekstenen(hierenkel x2)vrijkiest. Antwoord. DeoplossingsverzamelingvanhetstelselisgelijkaanOpl S = {(7 2r,r, 1, 2) | r ∈ R} 4Dedefinitievaneentrapvormkomtaanbodin 2.3.

✸

Modelvoorbeeld1(voorbeeld2pagina29). Opeenboerderijlopenganzen,schapen,koeienenvarkens,intotaalzijnzemet65.Samenhebbendeze dieren244potenen114oorschelpen.Bepaal(indienmogelijk)hetaantalvan elkesoort.Werkalgebra¨ısch(elementairerijoperatiesopschrijven).

Oplossing. Noemenwe x1 hetaantalganzen, x2 hetaantalschapen, x3 het aantalkoeienen x4 hetaantalvarkensdankunnenwehetvraagstukherleiden toteenstelsel:

x1 + x2 + x3 + x4 =65 2x1 +4x2 +4x3 +4x4 =244 2x2 +2x3 +2x4 =114.

Welossenditstelselopdoordetrapvormvandeuitgebreidematrix[A | b]te bepalen.

gebakkengans

Controlerenkanmetbehulpvandegrafischerekenmachine.5

2ND MATRIX EDIT

2ND MATRIX MATH B:rref(

Eenveelvoorkomendtypeoefeningiseenstelselbespreken:menvraagthierbijomdeoplossingsverzamelingvanhet gegevenstelseltebepalen.Tenzijandersvermeldhoefjedeelementairerijoperatiesnietopteschrijven.6

✸ Modelvoorbeeld2. Bespreekalgebra¨ıschhetstelsel:

2x2 +8x3 = 8 x1 2x2 x3 =0 4x1 8x3 +5x2 =2.

Oplossing.

5Hetcommando rref staatvoor rowreducedechelonform,deEngelsetermvoor gereduceerderij-echelonvorm.Voorheteliminatie algoritmevanGaussgebruikje ref watstaatvoor rowechelonform,deEngelsetermvoor rij-echelonvorm

6Indatgevalnoteertmeninplaatsvanderijoperatieeenpijl → ofookwelhetsymbool ∼,watstaatvoorrijequivalentie(zie 2.3).

Metbehulpvanheteliminatie-algoritmevanGauss-Jordankunnenweelklineairstelseloplossendoordeuitgebreide matrixterij-herleidennaareentrapvorm(zie 2.2).Indezeparagraafgaanwewatdieperinopdedefinitieen eigenschappenvanzo’ntrapvorm. ✸ Definitie. Zij T een m×n-matrix.Wenoemen T eentrapvorm (ofgereduceerderij-echelonvorm)alsdevolgende voorwaardentegelijkvoldaanzijn: (1) eventuelenulrijenbevindenzichonderaan;en (2) hetlinkerniet-nulelementvaneenrijisgelijkaan1,hoeksteen(ofhoofdelement)vanderij genaamd;en (3) dehoeksteenvaneenrijbevindtzichlinkstenopzichtevandehoekstenenvandevolgenderijen;en (4) deelementenbovenenondereenhoeksteenvaneenrijzijngelijkaan0. Voorbeeld. Matrix

1 zijnhoekstenen.

,notatie B

Gegevenzijndematrices

Eigenschap1. Wehebbenopdeverzameling Rm×n eenrelatiegeconstrueerd,dieweinhetvervolg rijequivalentie noemen:8 A ∼ B ⇔ A isrij-equivalentmet B

dievoldoetaandevolgendeeigenschappen: (1) rij-equivalentieisreflexief: ∀A ∈ Rm×n : A ∼ A, (2) rij-equivalentieissymmetrisch: ∀A,B ∈ Rm×n : A ∼ B ⇒ B ∼ A, (3) rij-equivalentieistransitief: ∀A,B,C ∈ Rm×n : A ∼ B en B ∼ C ⇒ A ∼ C.

Omdatvoldaanisaaneigenschappen(1)-(3)noemenwerij-equivalentieeenequivalentierelatie,notatie Rm×n , ∼ 9

Definitie. Zij A ∈ Rm×n.Deverzamelingvanallematrices X dierij-equivalentzijnmet A,noemenwede equivalentieklasse van A ennoterendiemet KA Insymbolen:

Gegevenisdematrix

gelijkheid

Metbehulpvanheteliminatie-algoritmevanGauss-Jordankunnenweelklineairstelseloplossendoordeuitgebreide matrixterij-herleidennaareentrapvormenhetaantalvrijheidsgradenindeoplossingsverzamelingisafhankelijkvan hetaantalhoekstenenvanzo’ntrapvorm(zie 2.2).Omdatelkematrixprecies´e´entrapvormheeft(zie 2.3),ligt dataantalhoekstenenvandetrapvormondubbelzinnigvast.Dataantalnoemenwede rang vandematrix.Indeze paragraafgaanwewatdieperinopdeeigenschappenvanhetbegriprangvaneenmatrix.

✸ Definitie. Zij A eenmatrix.Hetaantalhoekstenenvandetrapvormvan A noemenwederang vandematrix A.Wenoterenditgetalmetrang A

✸

Modelvoorbeeld1. Gegevenisdematrix A = ï137 214ò

(a) Bepaalalgebraıschderangvan A (b) Bepaalalgebraıschderangvan AT

Controleermetbehulpvanjegrafischerekenmachine. Oplossing.

✸ Modelvoorbeeld2. Gegevenisdematrix A = ïm 13 1 mm 2ò waarbij m ∈ R

Bepaaldewaarde(n)van m waarvoorrang A =2. Oplossing.

✸ Eigenschap. Zij A een m × n-matrix.Dangeldt: (i) rang A ≤ m enrang A ≤ n, (ii) rang A =rang AT . Bewijsvan(i).10

Vermeldenswaardigisdebetekenisvanmaximalerangvoorvierkantematrices.InhetvervolgvanDeelMatriceszullen wedezestellingnogverderaanvullen.

✸ Stelling(hoofdstellingvanvierkantematrices-eersteversie). Zij A een n × n-matrix.Dangeldt: rang A = n ⇕ detrapvormvan A isdeeenheidsmatrix En

Bewijs. Volgtuitdedefinitievanderangvaneenmatrix.

10Vooreenbewijsvan(ii)verwijzenwenaarDeelVectorruimten.

Metbehulpvanheteliminatie-algoritmevanGauss-Jordankunnenweelklineairstelsel A x = b oplossendoorde uitgebreidematrix[A | b]terij-herleidennaareentrapvorm(zie 2.2).Degedaantevandietrapvormverraadthet aantaloplossingenvanhetstelsel,zomogeblijkenuitdevolgende

Opontdekking. Webeschouwentelkenseen4 × 4-stelsel,waarbijdetrapvormvandeuitgebreidematrix[A | b] gegevenis.Geefhetvereenvoudigdstelsel,deoplossingsverzamelingenvulaanmet=of <

rang A... rang[A | b] ...n

Zij S eenlineair m × n-stelsel,[A | b]deuitgebreidematrixen T detrapvormvandeuitgebreidematrix.Danis: Geval1. rang A< rang[A | b]

Danisdelaatsteniet-nulrijvan T vandegedaante 00 ... 0 | 1 Danheefthetstelsel S geenoplossingen(strijdigstelsel,valsstelsel).

Geval2. rang A =rang[A | b]

Danisdelaatsteniet-nulrijvan T vandegedaante 00 1 ∗ ∗|∗

Subgeval1. rang[A | b]= n

Danheefthetstelseleenuniekeoplossing.

Subgeval2. rang[A | b] <n

Danheefthetstelseloneindigveeloplossingen.

Hetaantalparametersindeoplossingsverzamelingisgelijkaan n rang[A | b]. Hetaantaloverbodigevergelijkingeninhetstelselisgelijkaan m rang[A | b].

Ditleidttoteenverbandtussenderangvanvierkantematrix A endeoplossingenvanlineairestelsels A x = b. ✸ Stelling(hoofdstellingvanvierkantematrices-tweedeversie). Zij A een n × n-matrix.Dangeldt:11 rang A = n ⇕ detrapvormvan A isdeeenheidsmatrix En ⇕ hethomogeenlineairstelsel A x =0heefteenuniekeoplossing ⇕ ∀b ∈ Rn×1 :hetlineairstelsel A · x = b heefteenuniekeoplossing. Bewijs. Neem b ∈ Rn×1.Danvolgtuitdehoofdeigenschapvanaantaloplossingenvaneenlineairstelsel: A x = b heefteenuniekeoplossing ⇔ rang A =rang[A | b]= n ⇔ rang A = n. 11Vreemdgenoegisinditgevaldeuitspraak ∃b ∈ Rn×1 :hetlineairstelsel A x = b heefteenuniekeoplossingequivalentmetde uitspraak ∀b ∈ Rn×1 :hetlineairstelsel A x = b heefteenuniekeoplossing.

Eentypischeoefeningopvoorgaandeeigenschapishetaantaloplossingenvaneenstelselbespreken:menvraagthierbij omtebepalenofhetgegevenstelselgeen,´e´enofoneindigveeloplossingenheeft;eninhetgevalvanoneindigveel oplossingenhoeveelparametersdeoplossingsverzamelingheeft.

✸ Modelvoorbeeld1. Gegevenishetstelsel:      x1 x2 + x3 +2x4 =2 2x1 3x2 +4x3 x4 =3 x1 x3 +7x4 =3

Bespreekhetaantaloplossingenvanditstelsel.Maakgebruikvanjegrafischerekenmachineenschrijfjewerkwijze duidelijkop. Oplossing.

✸ Modelvoorbeeld2. Bespreekvoorelkewaardevan m ∈ R hetaantaloplossingenvanhetstelsel:      a + mb +2c = 4 a 2b + mc =0 a + mb +(m 2 2)c = m 2. Oplossing.

Indezeparagraafbreidenwehetbegripinverteerbaarheidvaneenmatrixuitnaarlinks-inverteerbaarenrechtsinverteerbaar.Nadienlinkenwehetalofnietinverteerbaarzijnvaneenvierkantematrixmetderangvandiematrix.

✸ Definitie. Zij A eenvierkante n × n-matrix.

▷ Indienereenmatrix BR bestaatwaarvoor A BR = En dannoemenwe A rechts-inverteerbaar

▷ Indienereenmatrix BL bestaatwaarvoor BL A = En dannoemenwe A links-inverteerbaar.

▷ Indienereenmatrix B bestaatwaarvoor A B = En = B A dannoemenwe A inverteerbaar (ofregulier).

▷ Eenmatrixdienietregulierisnoemenwesingulier.

Voorbeeld1. Dematrix A = ï 12 2 4ò isnochlinks-nochrechts-nochinverteerbaar(ziepagina12).

Voorbeeld2. Dematrix A = ï14 10 10 7 ò iszowellinks-inverteerbaar,rechts-inverteerbaaralsinverteerbaar, want(gana): ï14 10 10 7 ò A

ï 7/25 57ò B

= ï10 01ò E2

= ï 7/25 57ò B

ï14 10 10 7 ò A

✸ Opmerking. Vanzelfsprekendiselkeinverteerbarematrix A ooklinks-enrechts-inverteerbaar.Wevermelden datdeomgekeerdeimplicatieookwaaris.Sterkernog,links-inverteerbaarheid of rechts-inverteerbaarheidis genoegominverteerbaarheidaftedwingen(zieOefening33).Metanderewoorden: A islinks-inverteerbaar ⇔ A isinverteerbaar ⇔ A isrechts-inverteerbaar Datinhetgevalvaneeninverteerbarematrix A eenbijhorendematrix B uniekis,wordtaangetoondinde volgende

✸ Eigenschap. Zij A een n × n-matrix.Danbestaaterhoogstens´e´enmatrix B waarvoor A · B = En = B · A Bewijs. Omdezeeigenschaptebewijzen,nemenweaandatvoortweematrices B,B′ geldt:

A · B = En = B · A (∗) A B′ = En = B′ A. (∗∗)

Wemoetenaantonendatnoodzakelijk B = B′.Welnu(vulaan):

Indien A inverteerbaarismogenwedussprekenvan de inverse vandematrix A enwenoterendiemet A 1 Datcommandokunjeookmetbehulpvandegrafischerekenmachineuitvoeren. ✸ Modelvoorbeeld. Gatelkensnaofdematrixinverteerbaaris.Zoja,bepaaldeinverse.

Oplossing.

Nagaanofeenmatrixaldannietinverteerbaaris,kanmetdegrafischerekenmachine.Maardeinstrinsiekeredenvan inverteerbaarheidwordthiermeenietgegeven.Zo’ncriteriumsporenweopindeze

✸ Opontdekking. Gegevenzijndematrices A = ï10 00ò en C = ï3 1 4 1ò (a) Toonalgebraıschaandat A nietinverteerbaaris. (b) Toonalgebra¨ıschaandat C inverteerbaaris. Oplossing. (a) Wil A inverteerbaarzijn,danmoet A rechts-inverteerbaarzijnendanmoetereenmatrix BR bestaan waarvoor A BR = E2.Welnu, A BR = E2 ⇔ ï10 00ò ïb11 b12 b21 b22ò = ï10 01ò ⇔ ïb11 b12 00 ò = ï10 01ò

endezelaatstematrixvergelijkingheeftduidelijkgeenoplossingen(waarom?).Webesluitendat A niet rechts-inverteerbaaris.

Dieniet-inverteerbaarheidkunnenwelinkenmetdetrapvormvan A enwelopdevolgendemanier:de matrixvergelijking A BR = E2 kanherschrevenwordenalstweelineairestelsels,namelijk:

A · ïb11 b21ò = ï1 0ò ,A · ïb12 b22ò = ï0 1ò (∗)

Beidestelselsin(∗)kunnenopgelostwordendoortelkensdeuitgebreidematrixtebeschouwen: ï10 | 1 00 | 0ò , ï10 | 0 00 | 1ò waaruitonmiddellijkvolgtdathettweedestelselgeenoplossingenheeft.Watbetekentditvoorrang A? matrix A isnietinverteerbaarwantrang A......

(b) Wil C inverteerbaarzijn,danmoet C rechts-inverteerbaarzijnendanmoetereenmatrix BR bestaan waarvoor C BR = E2.Netalshierbovenkandezematrixvergelijkingherschrevenwordenalstweelineaire stelsels,namelijk: C ïb11 b21ò = ï1 0ò ,C ïb12 b22ò = ï0 1ò (∗∗)

Beidestelselsin(∗∗)kunnenopgelostwordendoortelkensdeuitgebreidematrixteherleidennaareen trapvorm(vulaan): ï3 1 | 1 4 1 | 0ò → ï...... | ... ...... | ...ò , ï3 1 | 0 4 1 | 1ò → ï...... | ... ...... | ...ò

Beidestelselsin(∗∗)hebbeneen(unieke)oplossing,namelijk(vulaan): ïb11 b21ò = ï ò , ïb12 b22ò = ï ò zodat BR =

Hoekunnenwedezeoplossingcontroleren?

Hieruitvolgtdat C rechts-inverteerbaaris.Wegensdeopmerkingoppagina39is C ookinverteerbaar.Wat isdeinversevan C?

Hoekondenwemeteeninziendatbeidestelselsin(∗∗)een(unieke)oplossinghebben?

Webesluiten(vulaan): rang C...... dusmatrix C isrechts-inverteerbaar

⋆ Stelling. Zij A een n × n-matrix.Dangeldt: A isinverteerbaar ⇔ rang A = n

Bewijs. Hetbewijsbestaatuittweedelen. Deel1. Ondersteldatrang A = n.Wemoetenaantonendat A inverteerbaaris.Wil A inverteerbaarzijn,dan moet A rechts-inverteerbaarzijnendanmoetereenmatrix BR bestaanwaarvoor A · BR = En.Welnu,

Omdatrang A = n hebbendebovenstaandestelsels

b1 = e1,A b2 = e2,...,A bn = en telkenseen(unieke)oplossing(waarom?).Duserbestaateenmatrix BR waarvoor A BR = En.Webesluiten dat A rechts-inverteerbaaris.Dus A isookinverteerbaar(waarom?). Deel2. Ondersteldat A inverteerbaaris.Wemoetenaantonendatrang A = n.Datkandooraantetonendat hethomogeenstelsel A x =0eenuniekeoplossingheeft(waarom?).

Dushetlineairstelsel A · x =0heeftenkeldenuloplossing.Webesluitendatrang A = n (waarom?).

Dankzijdezestellingkunnenwedehoofdstellingvanvierkantematricesopnieuwuitbreiden. ✸ Stelling(hoofdstellingvanvierkantematrices-derdeversie). Zij A een n × n-matrix.Dangeldt: rang A = n ⇕ detrapvormvan A isdeeenheidsmatrix En ⇕ hethomogeenlineairstelsel A x =0heefteenuniekeoplossing ⇕ ∀b ∈ Rn×1 :hetlineairstelsel A x = b heefteenuniekeoplossing ⇕ A isinverteerbaar. Bewijs. Volgtuitdevoorgaandestelling.

bestaan waarvoor:

3 1 210 721   .

Inhetvervolgkunnenwewatkortertewerkgaan.Inplaatsvandedrieuitgebreidematricesafzonderlijkte herleidennaareentrapvorm,kunnenweineensdematrix[A | E3]herleidennaartrapvorm [A | E3]=   111 | 100 232 | 010 314 | 001   r2→r2 2r1 −−−−−−−→ r3→r3 3r1

  111 | 100 010 |−210 0 21 |−301   r1→r1 r2 −−−−−−−→ r3→r3+2r2

  101 | 300 010 |−210 001 |−721   r1→r1 r3 −−−−−−−→   100 | 10 3 1 010 |−210 001 |−721  

waarbijwedetrapvormvan A (linkerhelft)aflezen.Omdatrang A =3is A inverteerbaarenwekunnentevens deinversevan A aflezen(rechterhelft). ✸ Modelvoorbeeld. Gaalgebraıschnaofdematrix A =   121 240 24 7   inverteerbaaris.Zoja,bepaaldeinverse. Oplossing.

Webesprekeneeneenvoudigemanieromboodschappentecoderenentedecoderen. Wewillenbijvoorbeeldlatenwetendateenvliegtuiggelandismetbehulpvande boodschap NUGELAND.Wevoegenaanelkelettereengetaltoe,namelijkzijn plaatsinhetalfabet.

ABCDEFGHIJKLM 12345678910111213

NOPQRSTUVWXYZ 14151617181920212223242526

Coderen

Omeenboodschaptecoderengaanwealsvolgttewerk.

Stap1. Groepeerdeletterspertwee,indiennodigvuljedeboodschapaanmeteenletter. Inonsvoorbeeldgeeftdit: NUGELAND 142175121144

Stap2. Kieseengeheime2 × 2-matrix A dieinverteerbaaris,bijvoorbeeld A = ï12 23ò

Stap3. Codeerdegetallenvandeboodschapdoortevermenigvuldigenmetdematrix A

Inonsvoorbeeldwordt NU gecodeerdals ï12 23ò ï14 21ò = ï56 91ò.

Analoogvoor GE, LA, ND.Ditgeeftdegecodeerdeboodschap: NUGELAND 5691172914272240

Verzenden

Weverzendendecode: 5691172914272240

Decoderen

Omdecodetedecoderendienenweoverdematrix A tebeschikken.Omheteerstepaarcijfers5691 te decoderenzoekenwedeoplossingenvanhetstelsel: ï12 23ò A

· ïx1 x2ò = ï56 91ò

Waaromheeftditstelseleenuniekeoplossingenhoekunnenwedieoplossingvinden?

Hetvliegtuigontvangtdevolgendeinstructie.Decodeerdezecode. 41674168193370115

Oplossing.

Heelwatvraagstukkenleidentothetoplossenvaneenlineairstelsel.Bijhetoplossenvaneenvraagstukbestaatde eerstestapaltijduithetbenoemenvandeonbekenden,zodatdelezerjeredeneringvlotkanvolgen.

✸

Modelvoorbeeld1(hetprobleemvanTartaglia).12Driejongemensen hebbenwatspaargeld.Zegtdeeerste: Alsjemijelkdehelftgeeftvanjullie spaargelddankomikaan 3400 euro.Waaropdetweede: Geefmijelkhetderde deelvanjulliegeldendankomikookaan 3400 euro.Dederdezegt: Geefmij elkeenvierdevanwatjulliegespaardhebbendankomikookaan 3400 euro Hoeveelspaargeldheeftelkvanhen?

Oplossing.

Niccol`oFontanaTartaglia (1499-1557)

✸ Modelvoorbeeld2(giscorrectie).13 Eentestbestaatuit30meerkeuzevragen.Omtequoterenvertrektmenmet30punten.Eengoedantwoordis 4puntenwaard,antwoordjefoutdanwordt1puntafgetrokkenenvooreen blancoantwoordwordtniksaangerekend.Janbehaaldeeenscorevan84punten.Ineennieuwsysteemvertrektmenmet0puntenenkrijgjevooreen correctantwoord5punten.Vooreenfoutantwoordwordtniksaangerekend. Eenblancoantwoordwordtgevalideerdmet2punten.Janbehaaltinditnieuw systeemeenscorevan93punten.HoeveelvragenlietJanblanco?

Oplossing.

12AandeslachtingdiedeFransenin1512inBresciaaanrichtten,hieldhijlittekensinhetgezichtenproblemenmethetsprekenover. Vandaardroeghijzijnlevenlangeenbaardenwerd Tartaglia genoemd,Italiaansvoor destotteraar

13Hetaftrekkenvanpuntenbijeenfoutiefantwoordstaatbijstudentenbekendonderdeterm giscorrectie.Bijvragenmet N keuzemogelijkhedenbestaatdemeestrechtvaardigemaniervangiscorrectieerinomvoorelkgoedantwoord1punttegeven,voorelkblanco antwoord0puntentegevenenvoorelkfoutantwoord1/(N 1)aftetrekken.Diemanierwordtverklaardinhetartikel[7],waarookhet aantaltegokkenvragenwordtbepaaldomdeslaagkansteoptimaliseren.Zieookdebegeleidendewebsite[20].

Oefeningen

2LineairestelselseninverteerbarematricesBasisVerdiepingUitbreiding ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

2.1Lineairestelsels

2.2Lineairestelselsoplossenmeteliminatiealgoritmen

2.3Trapvormvaneenmatrixenrij-equivalente matrices

2.4Rangvaneenmatrix

1 2 3

3 4 3 4 5 6 7 8 910

11 12 13 14 1415

2.5Aantaloplossingenvaneenlineairstelsel1617 18 19

19 20 21

22 23 24

25 26 27

2.6Inverteerbarematrices282930313233 2.7Toepassingen34 35 36 37

37 38 39 40 41

Oefeningenbij 2.2

B Oefening1. Vanwelkstelselis ï23 10 5 421ò deuitgebreidecoefficientenmatrix?

42 43 44

45 46 47484950

B Oefening2. Bespreektelkenshetlineairstelselvolgensheteliminatie-algoritmevanGauss-Jordan.Maakgebruik vanjegrafischerekenmachine,noteerduidelijkjewerkwijze. (a) ß 3x = y + z 4y =2x z (d) 

x1 + x2 +3x3 + x4 =1 x1 +2x2 +2x3 + x4 =1 2x1 +3x2 +5x3 +2x4 =2 x1 x2 +5x3 + x4 =1 (b)

a b +2c =8 2a +3b c =6 a +6b 7c = 18 b c = 2 (e)

x + y + z + t =2 x + y + z t =4 x + y z t =6 x y z t =8 (c)

x1 + x2 + x3 + x4 =1 x1 +3x2 +2x3 +4x4 =1 2x1 + x3 x4 =1 (f)

x1 x2 +3x3 + x4 =8 2x1 +3x2 x3 + x4 =7 7x1 +3x2 +7x3 +5x4 =6

Oefening3. Bespreektelkensalgebra¨ıschhetlineairstelselvolgensheteliminatie-algoritmevanGauss-Jordan(elementairerijoperatiesopschrijven).Controleerjetrapvormmetbehulpvanjegrafischerekenmachine.

(a)

+2y =0

+4y 2z =4

1 +2x2 +3x3 x4 =0

x1 +3x2 x3 +3x4 =0

x1 +6x2 + x3 +2x4 =0

1 + x2 +2x3 +3x4 2x5 =1 2x1 +4x2 8x5 =3 2x2 +4x3 +6x4 +4x5 =0

+ b 2c =0

a + b 3c =0

a 2b 2c =0

a b 5c =0

a 3b 4c =1

(f)

3u + v +2w t =0 2u v + w + t =0 5u +5v +4w 5t =0 2u +9v +3w 9t =0 V Oefening5. Bespreekhetniet-lineairstelsel

2 x 1 y + 1 z =0 1 x + 2 y + 3 z =0 4 x + 1 y + 9 z =0 V Oefening6. Gegevenzijndriere¨elegetallen a,b,c waarvoor3a b +5c =44en a +2c =12.Bepaal a b + c V

Bespreekhetniet-lineairstelsel

3xy +2yz zx =1 2xy 2yz +4zx = 2 2xy + yz zx =0 V⋆

Oefening8. Bepaaldeoplossingsverzamelingvanhetstelsel      √xy + √yz 3√zx = 19 7√xy +2√yz +2√zx =37 5√xy +3√yz 2√zx = 21 V⋆⋆ Oefening9. Bepaalallekwadratischefuncties f waarvoordegrafiekvan f depunten P (1, 1)en Q(2, 1)bevat. U Oefening10(niet-lineairestelsels). Hetvolgendstelselvergelijkingenisnietlineair: ® ex + ey =5 ex ey =3. (a) Laatziendatviaeentussenstapinditstelseltocheenlineairstelselverborgenzit. (b) Loshetlineairstelselenhetoorspronkelijkstelselop. Oefeningenbij 2.3en 2.4

B Oefening12. Geefeen5 × 4-matrixmetrang2.

B⋆ Oefening13. Berekenalgebraıschderangvandematrix A =   21 2 2 32 14 1116  

Oefening14. Bepaaltelkensvoorelkewaardevan m ∈ R derangvandematrixdoordetrapvormvandematrixte berekenen.

B⋆ (a) A = ï 24 m 26ò B⋆ (c) C = ï12m 5 34m 16ò B⋆ (b) B = ï 36m 1+ m 2 ò B⋆⋆ (d) D =   1 mm 2 m 1 m 0 1 mm +11   V⋆ Oefening15. Gegeveniseenalgemene2 × 2-matrix A = ïab cdò waarbij a,b,c,d ∈ R Bepaaldevoorwaarde(n)op a,b,c en d waarvoorderangvan A maximaalis.

Oefeningenbij 2.5 B Oefening16. Bespreektelkenshetaantaloplossingenvanhetstelsel.Maakgebruikvanjegrafischerekenmachine enschrijfjewerkwijzeduidelijkop. (a)

2x y + z =0 x +2y +3z =0 4x + y +9z =0 (c)

2x + y +3z =8 x y z =2 3x +2y +4z =1 (b)

x1 + x2 x3 =1 2x1 x2 +7x3 =5 3x1 4x2 +6x3 =3 (d)

x + y +3z + t =1 x +2y +2z + t =1 2x +3y +5z +2t =2 x y +5z + t =1 5x +5y +15z +5t =5

B⋆ Oefening17. Beschouwhetstelsel S ®2x +3y =3 5x 7y =21 (a) Bepaalhoeveeloplossingenhetstelsel S heeft. (b) HoekunnenwedeoplossingsverzamelingOpl S meetkundigvoorstellen? (c) Bepaal,metbehulpvan(a)endehoofdstellingvanvierkantematrices,hoeveeloplossingenhetstelsel S′ heeft, met S′ ®2x +3y =821 5x 7y = 756 B⋆ Oefening18. Bepaaldewaarde(n)vandeparameter m ∈ R zodathetvolgendstelselnietvalsis:

Bespreektelkensvoorelkewaardevan

x +4y +2mz =3 x + y mz =0 mx +(m +1)y +(m 1)z = m B

mx + y + z =1 x + my + z = m x + y + mz = m 2

Oefening20. Bepaaltelkensdewaarde(n)van k ∈ R zodathetstelseloplossing(en)heeft.

(a)    x1 + x2 x3 =1 2x1 x2 +7x3 =5 3x1 4x2 +6x3 = k

(b)      kx + y + z =1 x + ky + z =1 x + y + kz =1

B⋆⋆ Oefening21. Gegevenishetvolgendstelsel,waarbij k ∈ R:    kx + y + z = k x + ky + z = k x + y + kz = k.

(a) Bepaalallewaardenvan k waarvoorhetstelselgeenoplossingenheeft.

(b) Bepaalallewaardenvan k waarvoorhetstelseloneindigveeloplossingenheeft.

(c) Bepaalallewaardenvan k waarvoorhetstelselprecies´e´enoplossingheeft.

V Oefening22. Beschouwhetstelsel      x1 +2x2 x3 +2x4 =0 2x1 + x2 + x3 2x4 =0 3x1 x2 +4x3 8x4 =0 Bepaal,zonderberekeningenuittevoeren,of(0, 0, 0, 0)deenigeoplossingis.

V Oefening23. Beargumenteerbijdevolgendevragenjeantwoord.

(a) Aaneenstrijdigstelselwordtnogeenlineairevergelijkingtoegevoegd.Watkunjezeggenoverdeoplossingen vanditnieuwestelsel?Geefeenvoorbeeld.

(b) Deoplossingenvaneenstelselbevatten´e´enparameter.Nuwordter´e´enlineairevergelijking(indezelfdevariabelen)toegevoegd.Welkemogelijkhedenzijnervoorhetaantalvrijeparametersinhetnieuwestelsel?Geefeen voorbeeldvanelkvandemogelijkheden.

V Oefening24(toelatingsexamenburgerlijkingenieurUniversiteitGent1987). Beschouwhetstelsellineairevergelijkingenin x,y,z ∈ R

ax + y +2z =0 x +2y + z = b 2x + y + az =0 met a en b re ¨ eleparameters.

(a) Voorwelkewaardenvan a en b isditstelselstrijdig? (b) Voorwelkewaardenvan a en b heeftditstelseleenuniekeoplossing?Berekeninditgevaldeoplossing. V⋆ Oefening25(VlaamseWiskundeOlympiade1999tweederonde). Verondersteldathetvolgendstelselindeonbekenden x,y,z,u eenoplossingheeft: 



x + y = a y + z = b z + u = c u + x = d.

Dangeldtzekerdat

(A) a + b + c + d =0(B) a + b = c + d (C) a + c = b + d (D) a + d = b + c (E)stelselheeftgeenoplossing V⋆ Oefening26. Bespreekvoorelkewaardevan k,l ∈ R hetstelsel    x1 +2x2 + x3 =2 3x1 x2 +2x3 =4 2x1 +4x2 + kx3 = l. V⋆

Oefening27(toelatingsexamenburgerlijkingenieurKatholiekeUniversiteitLeuven). Loshetvolgendstelselop:   

 x + ay + a 2 z + a 3 =0 x + by + b2 z + b3 =0 x + cy + c 2 z + c 3 =0 waarbij a,b,c ∈ R.

B Oefening28. Gegevenzijndeinverteerbarematrices

A = ï12 35ò en B = ï1 2 01 ò .

Gatelkensnametbehulpvanjegrafischerekenmachine.

(a)(A · B) 1 ? = A 1 · B 1 (d)(AT ) 1 ? = A 1 T (b)(A B) 1 ? = B 1 A 1 (e)(2 A) 1 ? = 2 1 A 1 (c)(AT ) 1 ? = A 1 (f)(A 1) 1 ? = A

B⋆ Oefening29. Toonalgebraıschaandatdematrix P = ï 32 00ò singulieris.

B⋆⋆ Oefening30. Gegevenzijndematrices A = ï 1 2 12 ò en C = ï1 2 12 ò

(a) Toonalgebraıschaandat A nietrechts-inverteerbaaris. (b) Toonalgebraıschaandat C rechts-inverteerbaaris.

V Oefening31. Beschouwhetlineairstelsel    x 2y + z =2 x +3y z =3 x + y =4

Loshetstelselalgebraıschopzondereentrapvormteberekenenalsjeweetdatdecoefficientenmatrix A inverteerbaar isen A 1 =   1 11 110 43 1  

V⋆ Oefening32. Zij A en B tweeinverteerbare n × n-matrices.Bewijsdevolgendeeigenschappen.

(a) Dematrix A B isinverteerbaaren(A B) 1 = B 1 A 1

(b) Dematrix AT isinverteerbaaren AT 1 = A 1 T

(c) Voor r ∈ R0 isdematrix rA inverteerbaaren(rA) 1 = 1 r A 1 .

(d) Dematrix A 1 isinverteerbaaren A 1 1 = A Aanwijzing. Toontelkensaandatdedefinitievaneeninverteerbarematrixvoldaanisvoordevooropgesteldekandidaat inverse.

V⋆⋆ Oefening33. Zij A een n × n-matrix.Bewijsdevolgendeeigenschappen.

(a) Als A links-inverteerbaaris,danis A rechts-inverteerbaar. (b) Als A rechts-inverteerbaaris,danis A links-inverteerbaar.

(c) Als A links-inverteerbaarenrechts-inverteerbaarisdanis A inverteerbaar.

B Oefening34. MorganSpurlockschuiftaaninfastfoodrestaurant Supersize.Hij zietnergenseenprijslijsthangen.Hijheeft6euroopzakenzougraag2cola’s,2 hamburgersen1portiefrietbestellen.Erstaan3mensenvoorheminderij.De eerstebestelt3cola’s,1portiefrieten2hamburgersenbetaalt6, 60euro.Detweede bestelt3hamburgers,2portiesfrieten2cola’senbetaalt7, 60euro.Dederdevraagt 3portiesfrietmet5hamburgersen4cola’senbetaalt13, 10euro.KanMorganzijn bestellingbetalenenzoja,hoeveelmoethijbetalen?

B Oefening35. IndewinkelkooptAndrieblikjescola,tweezakjeschipseneenzak snoepenbetaaltdaarvoor4euro.Leenkoopteenblikjecola,eenzakjechipsendrie zakkensnoepvoor4, 70euro.Ivobetaaltvoortweeblikjescola,driezakjeschipsen eenzaksnoep3, 90euro.Watisdeafzonderlijkeprijsvaneenblikjecola,eenzakje shipseneenzaksnoep?

B Oefening36. Anna,BrigitteenCharlottevormeneendriegeslacht.Samenzijnze 105jaaroud.AnnaisnegenjaarouderdanBrigitteenCharlottesamen.Jammer genoegkomenAnnaenCharlottesamennogdriejaartjestekortomhetdubbelvan deleeftijdvanBrigittetezijn.Hoeoudzijndezedriedames?

Documentairefilm SuperSizeMe (2004)

Oefening37. Gatelkensalgebraıschnaofdematrix A inverteerbaaris.Zoja,geefdeinversevan A B (a) A = ï14 28ò B⋆ (b) A =   123 253 108  

B⋆ Oefening38. Gegevenzijndeinverteerbarematrices A = ï 13 14ò en B = ï12 1 1ò

(a) Bepaalalgebraısch A 1 en B 1 (b) Gaalgebraıschnadat A B inverteerbaarisenbepaal(A B) 1 .

B⋆ Oefening39. Inhotel VivaFranco inSpanjezijnde111eenpersoonskamersgeboekt doorNederlanders,FransenenItalianen.BlijktdaterdubbelzoveelNederlanders zijnalsFransenenItalianensamen.Toen60Nederlandershethotelverlietenom devoetbalmatchSpanje-NederlandbijtewonenwarenerdubbelzoveelFransenals NederlandersenItalianensamen.HoeveelNederlandershaddeneringechecktinhet hotel?

B⋆ Oefening40. Eengetalbestaatuitdriecijfers.Desomvandecijfersis19ende somvandebuitenstecijfersis1meerdandemiddelste.Leesjehetgetalomgekeerd danbekomjeeengetaldat198minderis.Bepaalhetgetal.

B⋆ Oefening41. Eengezinheeftdriekinderen,waarondereentweeling.Wanneerdebuurvrouwvraagthoeoudzezijn, antwoordtdevader,dievanraadselshoudt,hetvolgende: ▷ alsikdriemaaldeleeftijdvanHilde,onzeoudste,optelbijdetotaleleeftijdvanbeideanderen,danishetresulaat eendrievouden

driejaargeledenwasHildeevenoudalsdeanderensamen. Hououdzijndekinderen?

Oefening42. Bepaaldewaarde(n)van k,l ∈ R waarvoordematrix A =

Oefening44. IneenafdelingvaneenautofabriekwordendriemodellenA,BenCgeassembleerd.Erzijn52werkuren nodigvoordeassemblagevanmodelA,78werkurenvoormodelBen94voormodelC.De260arbeiderswerkenelk 32uurperweek.DemarketingspecialistenvoorspellendatdevraagnaarmodelAdubbelzogrootzalzijnalsde vraagnaarmodelBendatdevraagnaarmodelCgelijkzalzijnaan10%vandeproductie.Hoeveelwagensvanelk modelzalmenperweekmoetenproducerenalsmenrekeninghoudtmetdemarketingprognoses?

V Oefening45(toelatingsexamenartsKatholiekeUniversiteitLeuven2001).

Eenbioloogheeftvooreenexperimentmetmuizeneenvoedselmengselnodigdat,buitenanderestoffen,bestaatuit 23gproteıne,6, 2gveten16gvocht.Hijbeschiktovermengselsmetdevolgendesamenstelling:

proteıne(%)vet(%)vocht(%) mengsel120215 mengsel210610 mengsel31555

Welkevandevolgendehoeveelhedenvanmengsel1moetdebiolooggebruikenom,incombinatiemetgepastehoeveelhedenvandemengsels2en3,hetgevraagdevoedselmengselteverkrijgen?

(A) 30g (B) 40g (C) 50g (D) 60g

V Oefening46. Tweeidentiekevazenbevatteneenverschillendehoeveelheidwater.Hettotalegewichtvandeeerste vaasbedraagt4/5vanhettotalegewichtvandetweedevaas.Gietenwehetwatervandetweedevaasindeeerste, danweegtdeeerstevaas8maalmeerdandetweedelegevaas.Alsdetweedevaas50gwatermeerbevatdandeeerste vaas,zoekdanhetgewichtvanelkevaasendehoeveelheidwaterdiezeoorspronkelijkbevatten.

V⋆ Oefening47(hetprobleemvanBachet). 14 Driejongemensenhebbenwatspaargeld.E´envanhenverdubbelt meteendeelvanzijnspaarcentenhetbedragvandeanderetwee.Daarnaverdubbeltdetweedemeteendeelvanzijn centenhetbedragvandeanderetwee.Tenslotteverdubbeltdederdemeteendeelvanzijngeldhetbedragvande anderetwee.Nubezitelkvanhen8000.Watwashetoorspronkelijkebedragdatelkvanhenhad?

V⋆⋆

U⋆

Oefening48(toelatingsexamenburgerlijkingenieurUniversiteitGent1997). Bepaaleenveelterm A(x)vandevijfdegraaddiedeelbaarisdoor x 2endoor x2 +2x +2.Wewetenookdatde somvandequoti¨entenvandedelingvan A(x)door x 2endoor x2 +2x +2gelijkisaan2x4 +8x3 +8x2 +6x

Oefening49(inversevaneen 2 × 2-matrix). Gegeveniseenalgemene2 × 2-matrix A = ïab cdò met a,b,c,d ∈ R Bewijs:als A inverteerbaaris,danwordtdeinversegegevendoor A 1 = 1 ad bc ï d b ca ò

U⋆⋆

Oefening50(magischvierkant). 15 Eenmagischvierkant (oftovervierkant)iseen vierkantschemawaaringetallenzodanigzijningevulddatdekolommen,derijenen debeidediagonalenalledezelfdesomopleveren.Meestal-enzoookindezeoefening -eistmendathetvierkantdenatuurlijkegetallenvan1totenmet n2 bevat,waarbij n hetaantalcellenin´e´enzijdeis,genaamddeordevanhetmagischvierkant.Een magischvierkantvanordedrieisbijvoorbeeld: 834 159 672

(a) Toonaandatbijeenmagischvierkantvanorde n desominelkerij,kolomen diagonaalgelijkisaan n(n2 +1) 2

(b) Bepaalallemagischevierkantenvanordetwee.Hoeveelvrijheidsgradenzijner?

(c) Bepaalallemagischevierkantenvanordedrie.Hoeveelvrijheidsgradenzijner?

AlbrechtDurer (1514)

14ClaudeGaspardBachetdeM´eziriac waseenschrijvervanboekenmetwiskundigepuzzels,enlagdaarmeeaandeoorsprongde recreatievewiskunde.Zijnboek Probl`emesplaisantsetd´electablesquisefontparlesnombres [2]bevatproblemenovertalstelselsmet eengrondtalverschillendvan10,kaarttrucs,opstellenvanmagischevierkanten,enweeg-engietproblemen.Volgens[5]komtdevolgende klassiekeruithetboekvanBachet:drieemmershebbeneeninhoudvanrespectievelijk8,5en3liter.Aanvankelijkzijnzegevuldmet resp.8,0en0literwater.Hoemoetjedeemmersovergietenom4,4en0literwaterovertehouden?

15DeeersteverschijningvaneenmagischvierkantindeEuropesekunstkomtvooropdegravureMelencoliaI(melancholie)vanAlbrecht Durer.Hetjaartalisverwerktinhetvierkant.

Inzichtinelektrotechniek

Inditvoorbeeldlatenwezienhoemenineenelektrischnetwerkdespanning,stroomsterkteenweerstandkan bepalenmetbehulpvanlineairestelsels.16

Innevenstaandefiguurzienweeenelektrischnetwerkmet drieknooppunten a,b,c endriestroomdradenmetiedereen ohmseweerstand.Hetnetwerkheefttweeinkomendestromen Ia en Ib eneenuitknooppunt c uitgaandestroom.We gaanuitvandeinnevenstaandefiguurgegevenenontbrekendewaarden:

R1 =1Ω Ia =1A I1 =?

R2 =5Ω Ib =2A I2 =?

R3 =3Ω Ic =? I3 =?

DewettenvanKirchhoffzijntweeregelsdiehetgevolgzijn vanhetbehoudvanenergieenladingineenelektrischnetwerk.17 Zebeschrijvenrelatiestussendeweerstanden R in eennetwerk,stromen I inknooppuntenvanhetnetwerkenspanningen U instroomkringenvanhetnetwerk.

✸ DeeerstewetvanKirchhoff heeftbetrekkingopdeknooppuntenvaneennetwerkenvolgtuithetprincipe vanbehoudvanelektrischelading:

Beschouwenweineenknooppunteeningaandestroomalspositiefeneenuitgaandestroomalsnegatief, danisinelkknooppuntdesomvandestromengelijkaannul.

Passenwedezeeerstewettoeopdedrieknooppunten a, b en c vanbovenstaandnetwerk,danverkrijgenwe hetstelsel

Ia + I1 I3 =0

Ib I1 I2 =0 Ic + I2 + I3 =0 (∗)

✸ DetweedewetvanKirchhoff heeftbetrekkingopdegeslotenlussenvaneennetwerk(stroomkringen genaamd)envolgtuithetprincipevanbehoudvanenergie:

Beschouwenweineenstroomkringeenspanningsbronalspositiefalszeoptreedtinwijzerzinennegatief alszeoptreedtintegenwijzerzin,danisinelkestroomkringdesomvandespanningengelijkaannul.

Passenwedezetweedewettoeopdeenigestroomkring abc vanbovenstaandnetwerk,danverkrijgenwede vergelijking(wegensdeWetvanOhm U = R · I):

1I1 R2I2 + R3I3 =0 (∗∗)

Ihaveinpreviouspapersdefineda Matrix asarectangulararray ofterms,outofwhichdifferentsystemsofdeterminantsmaybe engenderedasfromthewombofacommonparent.

J.J.Sylvester,1851[18]

Determinanten

Indithoofdstukassocierenwemetelke vierkante matrix A eenre ¨ eelgetal,waarvanhetalofnietnulzijnzal determineren(i.e.vaststellen)ofeenlineairstelsel A · x = b aldannieteenuniekeoplossingheeft.Datgetalnoemen wedanookde determinant,notatiedet A enwegensdehoofdstellingvanvierkantematrices(zieHoofdstuk2)wordt onzeeis: det A =0 ⇔ detrapvormvan A isdeeenheidsmatrix En

Bovendienwensenweookdatweinzo’ngevaldeuniekeoplossingvaneenlineairstelsel A x = b kunnenuitdrukken metdeterminanten.DatzalzichvertalenindezogenaamderegelvanCramer,zie 3.4.

Indevolgendeparagraaflatenwezienhoewevanuitbovenstaandeeisdedefinitievandeterminantvanmatricesmet lageordeophetspoorkomen.

3.1Determinantvaneen 1 × 1-matrix, 2 × 2-matrixen 3 × 3-matrix

Opontdekking1. InHoofdstuk2zagenwedatelkematrixterij-herleidenisnaareentrapvorm.Wevragen onsafhoedetrapvormvaneen vierkante matrixerkanuitzien.

× 1-matrix A.Hoekandetrapvorm

2

Neemeenwillekeurige3 × 3-matrix A.Meteenanalogeredenering(enwatrekenwerk)kanmenaantonen:

als A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

  danisdetrapvormvan A deeenheidsmatrix E3 alsenslechtsals a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11 =0

✸ Definitie(determinantvaneen 1 × 1-matrix, 2 × 2-matrixen 3 × 3-matrix).2

Vooreen1 × 1-matrix,2 × 2-matrixen3 × 3-matrixwordtdedeterminantalsvolgtgedefinieerd.

▷ Als A = a11 dandet(A) def = a11

▷ Als A = ïa11 a12 a21 a22ò dandet(A) def = a11a22 a12a21

▷ Als A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

  dandet(A) def = a11a22a33 +a12a23a31 +a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11

= a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 ✸ Modelvoorbeeld1. Berekentelkensalgebraıschdedeterminantvandematrix.

(a) A = 4 (b) B = ï2 4 5 10ò (c) C =   324 1

Oplossing.

✸ DeregelvanSarrus. Eenandermnemotechnischmiddelomdeformule voordedeterminantvaneen3 × 3-matrixteonthoudenwerdontwikkelddoor Sarrus:herhaalnadederdekolomdeeerstetweekolommen,maakdesom vandehoofddiagonalen(vollelijnen)envermindermetdenevendiagonalen (stippellijnen).4

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33

A =

PierreFr´ed´ericSarrus (1798-1861)

✸ Modelvoorbeeld2. BerekenalgebraıschdedeterminantmetbehulpvanderegelvanSarrus. |A| = 123 134 2 30 Oplossing.

Determinantenvanmatricesvoldoenaanheelwateigenschappen.Debelangrijksteiswellichthetzogenaamd ontwikkelennaareenrijofeenkolom.Daarvoorhebbenwehetvolgendbegripnodig. ✸ Definitie(deelmatrix). Zij A een n × n-matrix.De(i,j)-deelmatrix van A isdematrixdieweverkrijgenals wede i-derijende j-dekolomvan A verwijderen.Wenoterendezenieuwematrixmet Dij Insymbolen:

Als A = a11 a12 a21 a22

dandet(A)= a11a22 a21a12

= a11 det a22 a21 det a12

= a11 det a11 a12 a21 a22 a21 det a11 a12 a21 a22

= a11 det(D11) a21 det(D21)

Als A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

 

dandet(A)= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33

= a11a22a33 a11a32a23 a21a12a33 + a21a32a13 + a31a12a23 a31a22a13

= a11 a22a33 a32a23 a21 a12a33 a32a13 + a31 a12a23 a22a13

= a11 det a22 a23 a32 a33 a21 det a12 a13 a32 a33 + a31 det a12 a13 a22 a23

= a11 det   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

  a21 det   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

= a11 det(D11) a21 det(D21)+ a31 det(D31)

  + a31 det   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

 

Deomkaderdeformulesnoemtmenontwikkelennaardeeerstekolom.Wehebbendevolgendeeigenschapbewezen.

✸ Eigenschap(ontwikkelennaardeeerstekolom).5 Zij A een n × n-matrix. ▷ Als n =2danisdet A = a11 det(D11) a21 det(D21). ▷ Als n =3danisdet A = a11 det(D11) a21 det(D21)+ a31 det(D31). Samengevat:als n =2of n =3danis det(A)= a11 det(D11) a21 det(D21)+ + an1( 1)n+1 det(Dn1) = n i=1 ai1( 1)i+1 det(Di1) ✸ Modelvoorbeeld3. Berekentelkensalgebraıschdedeterminantvandematrix doorteontwikkelennaardeeerstekolom.

Oplossing. 5Wathetontwikkelennaareenanderekolomofontwikkelennaareenrijlevert,wordtbesprokenin 3.3.Ontwikkelennaareenrijof kolomwordtookwel Laplaceontwikkeling genoemd,naarLaplace1772docheerderontdektdoorGottfriedWilhelmLeibniz

Indevorigeparagraafhebbenwededeterminantvaneen1 × 1,2 × 2en3 × 3-matrixvastgelegdmeteenformulein termenvandecoefficientenvandiematrix.Vooreen4 × 4-matrix,5 × 5-matrix,etc.wordtzo’nexplicieteformule voordedeterminantteomslachtig.6 Daaromgaatmenanderstewerk.

✸

1( 1)i+1 det(Di1)

▷ hetgetal Mij def=det(Dij )deminor van aij , ▷ hetgetal Cij def=( 1)i+j det(Dij )decofactor van aij Metdezebenamingenkunnenwededefinitievaneendeterminantkorternoterenals det(A)= a11C11 + a21C21 + + an1Cn1 ontwikkelennaardeeerstekolom



  

 

Indezeparagraafbesprekenweenkeleeigenschappenvandeterminanten.Samenmetdeeigenschappenbeschrevenin detoepassingenin 3.4zijnzefundamenteelvooreengoedbegripvanmatrices,lineairestelselsendeterminanten.

✸ Opontdekking1. Zij A = a11 a12 a21 a22 een2 × 2matrix.

Wekunnendedeterminantberekenendoorteontwikkelennaardeeerstekolom:

A = a11 a12 a21 a22 a11C11 + a21C21 = a11a22 + a21( a12)=det A

Watgebeurtermetdedeterminantalsweontwikkelennaareenanderekolom?Vulaan: A = a11 a12 a21 a22 a12C12 + a22C22 = ...

Watgebeurtermetdedeterminantalsweontwikkelennaareenrij?Vulaan: A = a11 a12 a21 a22 a11C11 + a12C12 = A = a11 a12 a21 a22 a21C21 + a22C22 =

✸

Eigenschap1(ontwikkelennaareenwillekeurigerijofkolom). Zij A een n × n-matrix.Dankande determinantvan A berekendwordendoorteontwikkelennaareenwillekeurigerijofkolom. Insymbolen: det(A)= a1j C1j + a2j C2j + + anj Cnj ontwikkelennaarde j-dekolom, det(A)= ai1Ci1 + ai2Ci2 + + ainCin ontwikkelennaarde i-derij. Bewijs. Valtbuitenhetbestekvandezecursus.

Indepraktijkkiestmeneenrijofkolommetveelnullenzodatdeberekeningvandet A eenvoudigerwordt,zogetuige

✸ Modelvoorbeeld1. Berekenalgebraıschen zoeffici¨entalsmogelijk devolgendedeterminant

1351 0210 0300 1101 . Oplossing.

|A| =

✸ Opontdekking2. Zij A = ïa11 a12 a21 a22ò een2 × 2-matrix.

▷ Watgebeurtermetdedeterminantalswedematrix A transponeren?Vulaan: det(AT )= a11 a21 a12 a22 =

✸

Eigenschap2(determinantvandegetransponeerde). Zij A een n × n-matrix.Dangeldt: det(AT )=det(A)

Bewijs. Berekenenwedet(AT )doorbijvoorbeeldteontwikkelennaardeeerstekolomvan AT ,danisdathetzelfde alsontwikkelennaardeeersterijvan A,hetgeendet A oplevert.

Opontdekking3. Zij A = ïa11 a12 a21 a22ò en B = ïb11 b12 b21 b22ò twee2 × 2-matrices.

▷ Watgebeurtermetdedeterminantalswedematrices A en B optellen?Vulaan: det(A + B)= a11 + b11 a12 + b12 a21 + b21 a22 + b22 = ...

Voor2 × 2-matricesgeldtinhetalgemeenwel/nietdatdet(A + B)=det A+det B (schrappenwatnietpast).

▷ Watgebeurtermetdedeterminantalswedematrices A en B vermenigvuldigen?Vulaan: det(A B)= a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 =

Voor2 × 2-matricesgeldtinhetalgemeenwel/nietdatdet(A · B)=det A · det B (schrappenwatnietpast). Wevermeldenzonderbewijsdevolgende

✸ Eigenschap3(determinantvaneenproduct). Zij A en B twee n × n-matrices.Danis det(A B)=det(A) det(B)

✸ Opontdekking4. Zij A = ïa11 a12 a21 a22ò een2 × 2-matrix.

WehernemendeelementairerijoperatiesuitHoofdstuk2(ziepagina31):

Rijoperatie1. Verwisseltweerijen.

Rijoperatie2. Vermenigvuldigeenrijmeteenreeelgetalverschillendvanhetgetal0. Rijoperatie3. Telbijeenrijeenveelvoudopvaneenandererij.

Watgebeurteralswetweerijenverwisselenvanplaats?Vulaan: a21 a22 a11 a12 = ▷

▷

Watgebeurteralsweeenrijvermenigvuldigenmeteenreeelgetal r?Vulaan: r a11 r a12 a21 a22 = ...

Watgebeurteralswebijeenrijeenveelvoudvaneenandererijoptellen?Vulaan: a11 + r · a21 a12 + r · a22 a21 a22 = ✸ Eigenschap4(invloedvanelementairerijoperatiesopdedeterminant). Zij A een n × n-matrix. (1) Verwisseltmentweerijen,danverandertdedeterminantvanteken. (2) Vermenigvuldigtmeneenrijmeteenreeelgetaldanwordtdedeterminantmetdatgetalvermenigvuldigd. (3) Teltmenbijeenrijeenveelvoudopvaneenandererij,danwijzigtdedeterminantniet.

▷

Weonthoudendezeeigenschapschematisch:

M =   abc def ghi   waarbij a,b,...,i ∈ R

ensteldat a,b,...,i zogekozenzijndatdet(M )=5.Bepaaltelkensdedeterminantvandegegevenmatrix.

(a) A =   ghi def abc  

(b) B =   abc 6d 6e 6f ghi  

(c) C =   abc def g 3ah 3bi 3c   Oplossing.

✸ Eigenschap5. Zij A een n × n-matrix.

(4) Als A eennulrijheeft,danisdet(A)=0.

(5) Als A tweedezelfderijenheeft,danisdet(A)=0.

(6) Als A eenrijheeftdieeenveelvoudisvaneenandererij,danisdet(A)=0. Bewijs.

Omdatdet(AT )=det(A)geldeneigenschappen4en5ookvoordekolommenvaneenmatrix.

✸ Eigenschap6. Zij A een n × n-matrix.

(1’) Verwisseltmentweekolommen,danverandertdedeterminantvanteken.

(2’) Vermenigvuldigtmeneenkolommeteenreeelgetaldanwordtdedeterminantmetdatgetalvermenigvuldigd.

(3’) Teltmenbijeenkolomeenveelvoudopvaneenanderekolom,danwijzigtdedeterminantniet.

(4’) Als A eennulkolomheeft,danisdet A =0.

(5’) Als A tweedezelfdekolommenheeft,danisdet A =0.

(6’) Als A eenkolomheeftdieeenveelvoudisvaneenanderekolom,danisdet A =0.

Toepassing1-Determinantvaneendriehoeksmatrix

Berekendedeterminantvandevolgendebovendriehoeksmatrix

Oplossing. Ontwikkelennaardelaatsterijlevert det(A)= 5032 021 3 003 1 000 2

= 2 503 021 003 = 2 3 50 02 = 2 3 2 ( 5)=60.

Wekunnendezemethodeveralgemenenvooralledriehoeksmatrices.

Eigenschap7(determinantvaneendriehoeksmatrix). Dedeterminantvaneendriehoeksmatrixishetproductvandediagonaalelementen. Insymbolen:

danisdet(A)= a11a22 ...ann

Bewijs. Webewijzendeeigenschapvooreenbovendriehoeksmatrix.Hetresultaatvooreenonderdriehoeksmatrix volgtdanuitEigenschap2(determinantvandegetransponeerde). Webewijzendeeigenschapmetbehulpvanvolledigeinductie.7

Stap1. Deformulegeldtvoor n =2,want a11 a12 0 a22 = a11a22 Stap2. Wetonenaandat,alsdeformulegeldtvoor n = k (met k eenwillekeurignatuurlijkgetalgroterdan 1),dangeldtzeookvoor n = k +1.Metanderewoorden,verondersteldatdeformulegeldigisvoor n = k: a11 a12 ...a1k 0 a22 ...a2k . . . 00 ...akk

= a11a22 ...akk (inductiehypothese).

Wemoetenbewijzendatdeformulegeldigisvoor n = k +1.Welnu, a11 a12 ...a1k a1,k+1 0 a22 ...a2k a2,k+1 . . . . 00 ...akk ak,k+1 00 ... 0 ak+1,k+1

= ak+1,k+1 Ck+1,k+1 = ak+1,k+1 ( 1)k+1+k+1

a11 a12 ...a1k 0 a22 ...a2k . . . 00 ...akk = ak+1,k+1( 1)2(k+1)a11a22 ...akk = a11a22 ...akkak+1,k+1

UitStap1enStap2kunnenwebesluitendatdeformulegeldtvoorelknatuurlijkgetal n ≥ 2. ✸ Modelvoorbeeld. Berekenalgebraıschenzoefficientalsmogelijkdevolgendedeterminant: |A| =

2000 7 300 3750 8594

Oplossing. 7Uiteraardgeldtdeformuleookvoor n =1.Merkopdatelke1 × 1-matrixeendriehoeksmatrixis.

✸ Principe1(verlagingvandeorde). Dedeterminantvaneenvierkantematrix A berekenenviaontwikkelen gebeurtbestnaareenrijofkolomwaarveelnullenstaan,zieEigenschap1(ontwikkelennaareenwillekeurige rijofkolom).Alsdienullenernietstaankunnenwediecreerenmetbehulpvanelementairerijoperaties.Door bijelkeelementairerijoperatiedeinvloedopdet A bijtehouden,kunnenweopdezemanierdet A berekenen, zieEigenschap4.

✸ Modelvoorbeeld1. Berekenalgebraıschdedeterminantvandevolgendematrixmetbehulpvanverlagingvan deorde. A =   124 378 548  

Oplossing.

✸ Principe2(rijherleidennaareenbovendriehoeksmatrixoftrapvorm). Viaheteliminatie-algoritmevan GaussofGauss-Jordanuit 2.2kunnenweelkevierkantematrix A rijherleidennaareenbovendriehoeksmatrix ofzelfsnaareentrapvorm,waarvandedeterminantgemakkelijkteberekenenismetEigenschap7(determinant vaneendriehoeksmatrix).Doorbijelkeelementairerijoperatiedeinvloedopdet A bijtehouden,kunnenweop dezemanierdet A berekenen,zieEigenschap4.

✸ Modelvoorbeeld2. Berekenalgebraıschdedeterminantvandevolgendematrixdoorterijherleidennaareen bovendriehoeksmatrix.

Oplossing.

Webegonnendithoofdstukmetdedoelstellingommetelke vierkante matrix A eenreeelgetalteassocieren,waarvan hetalofnietnulzijndetermineertofeenlineairstelsel A x = b aldannieteenuniekeoplossingheeft.Wegensde hoofdstellingvanvierkantematrices(zieHoofdstuk2)werdditvertaaltindeeis

det A =0 ⇔ detrapvormvan A isdeeenheidsmatrix En

Aandehandvandezeeishebbenwein 3.1dedeterminantvaneen1 × 1-matrix,2 × 2-matrixen3 × 3-matrix ingevoerd.Datdezeeisnuookvoldaanisvooreenwillekeurige n × n-matrix,bewijzenwein

✸ Eigenschap8. Zij A een n × n-matrix.Dangeldt: det A =0 ⇔ detrapvormvan A isdeeenheidsmatrix En

Bewijs. Werijherleidendematrix A naareentrapvorm T enhoudendeinvloedopdet A bij.WegensEigenschap 4(invloedvanelementairerijoperatiesopdedeterminant)hebbenwevooreenzekergetal c ∈ R0 A ∼ T det T = c det A

zodatdet A =0alsenslechtsalsdet T =0.Endatlaatstekanalleenals T deeenheidsmatrixis.

MetdezeeigenschapkunnenwedehoofdstellingvanvierkantematricesuitHoofdstuk2vooreenlaatstekeeruitbreiden.

✸ Stelling(hoofdstellingvanvierkantematrices-vierdeversie).8 Zij A een n × n-matrix.Dangeldt: rang A = n ⇕ detrapvormvan A isdeeenheidsmatrix En ⇕ hethomogeenlineairstelsel A x =0heefteenuniekeoplossing ⇕ ∀b ∈ Rn×1 :hetlineairstelsel A x = b heefteenuniekeoplossing ⇕ A isinverteerbaar ⇕ det A =0.

Herinnerdatderangvan A hetaantalhoekstenenisindetrapvormvan A.WekunnennuEigenschap8veralgemenen naareenalternatievebeschrijvingvanhetbegriprang. ⋆ Eigenschap9. Zij A een m × n-matrix.Dangeldt: rang A = r ⇔ ß elkevierkantedeelmatrixvanorde groterdan r × r heeftdeterminant0 erbestaateenvierkantedeelmatrixvanorde r × r metdeterminant =0.

Bepaalalgebraıschderang A metbehulpvandedeterminantvandeelmatrices.Controleernadiendoorde trapvormvandematrixteberekenen. Oplossing.

8Deequivalentie ∀b ∈ Rn×1 :hetlineairstelsel A x = b heefteenuniekeoplossing ⇔ det A =0maaktdeeluitvandezogenaamde regelvanCramer,ziepagina65.

Een n × n-matrix A isinverteerbaaralsenslechtsalsdet A =0,hetgeenonsdoetvermoedendaterookeenverband istussendedeterminantvan A endeinversevan A

✸ Opbouw. Zij A = ïa11 a12 a21 a22ò een2 × 2-matrix.Ontwikkelennaardeeersteentweederijgeeft

a11C11 + a12C12 =det A en a21C21 + a22C22 =det A.

Weherkennenhierineenmatrixvermenigvuldiging: a11 a12 · ïC11 C12ò = det(A) en a21 a22 · ïC21 C22ò = det(A)

Dietweebewerkingenkunnenweals´e´enmatrixvermenigvuldigingschrijven: ïa11 a12 a21 a22ò · ïC11 C21 C12 C22ò = ïdet A ∗ ∗ det Aò

Weberekenendeontbrekendeelementenvandematrixinhetrechterlid(vulaan): a11C21 + a12C22 = en a21C11 + a22C12 =

Opdezemanierverkrijgenwe(vulaan): ïa11 a12 a21 a22ò ïC11 C21 C12 C22ò = ïdet A... det Aò =

Dezeeigenschapkannuookveralgemeendworden. ✸ Definitie. Zij A een n × n-matrix.Degeadjungeerdematrix (ofadjunctmatrix)van A isdematrixdiewe verkrijgenalsweelkelement aij van A vervangendoorzijncofactor Cij endaarnadiematrixtransponeren. Insymbolen: Als A = 

a11 a12 ...a1n a21 a22 ...a2n . . . an1 an2 ...ann



danisadj(A) def =      C11 C12 ...C1n C21 C22 ...C2n . . . Cn1 Cn2 ...Cnn



 T ✸ Eigenschap10. Zij A een n × n-matrix.Danis A adj(A)=det A En

Iseenmatrix A inverteerbaar,dankunnenwedeformulehierbovengebruikenomdeinversematrixvan A teberekenen. ✸ Eigenschap11. Zij A eeninverteerbare n × n-matrix.Danis

A 1 = 1 det A · adj(A) Bewijs. ✸ Modelvoorbeeld. Gaalgebraıschenmetbehulpvandeterminantennaofdematrix A =   246 257 2 4 5   inverteerbaaris.Zoja,berekendeinversematrixmetbehulpvandegeadjungeerdematrix. Oplossing.

11 C21

22

23

31

32

33

b1 b2 b3

det(A

b1

12b1

13b1

waaruit(neeminlinker-enrechterliddeeersterij): x1 = C11b1 + C21b2 + C31b3 det(A) =

b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Analoogvindenwe x2 en x3,zodat x1 =

b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

x2 =

a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Dezemethodekanveralgemeendwordennaarallevierkantelineairestelsels.

x3 =

C21b2

C22b2

C23b2

C31b3

C32b3

C33b3

a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

a11 b1 ...a1n a21 ... b2 ...a2n . . . an1 bn ...ann det(A) Bewijs. Valtbuitenhetbestekvandezecursus. ✸ Modelvoorbeeld. BepaaldeoplossingenvanhetvolgendstelselmetbehulpvanderegelvanCramer.Noteer duidelijkjewerkwijze.

   x

Opontdekking. Webeschouwendedriepunten P ( 1, 4), Q(3, 3) en R(4, 1)(ziefiguur).Bestaatereenveelterm f (x)= ax2 + bx + c vangraad ≤ 2wiensgrafiekdoordezedriepuntengaat? Oplossing. Deeisdateenveeltermfunctie f (x)= ax2 + bx + c door dezepuntengaatisgelijkwaardigmetzeggendatvolgendlineairstelsel oplossingenheeft:

noemtmeneen3 × 3Vandermondematrix 10 Weberekenendedeterminantvan A opzo’nmanierdatdemethodeteveralgemenenisvooreen n × n Vandermondematrix: 1 x1 x2 1 1 x2 x2 2 1 x3 x2 3

= 1 x1 0 1 x2 x2 2 x1x2 1 x3 x2 3 x1x3 = 100 1 x2 x1 x2(x2 x1) 1 x3 x1 x3(x3 x1) = x2 x1 x2(x2 x1) x3 x1 x3(x3 x1) =(x2 x1)(x3 x1) 1 x2 1 x3 =(x2 x1)(x3 x1)(x3 x2)= 3 i,j =1 i<j

Inonsvoorbeeldvindenwe(vulaan):det A =(x2 x1)(x3 x1)(x3 x2)= Wemerkendatdet A =0.Watishiervandemeetkundigebetekenis?

(xj xi)

Omdatdet A =0,heefthetstelsel(∗)eenuniekeoplossing(waarom?).Dieoplossingvindenwebijvoorbeeld doormetdegrafischerekenmachinedeinversevan A teberekenen(vulaan):

i) Hieruitvolgtdatvoor n verschillendepunten(waarvanergeentweebovenelkaarliggen)erprecies´e´enveelterm vangraad ≤ n 1isdiedeze n puntenbevat. 10GenoemdnaarAlexandre-Th´eophileVandermonde (1735-1796).HoewelVandermondeinzijnvierpublicaties1771,1772werk leverdeophetgebiedvandeterminanten,zijnditsoortmatricesernietinterugtevinden.Demisplaatstenaamwerdenigszinsverklaard doorHenriL´eonLebesgue 1938[13].

✸ Opbouw. Webeschouwentweeverschillendepunten P (x1,y1)en Q(x2,y2).Omdevergelijkingvanderechte PQ optestellen,onderscheidenwetweegevallen.

▷ Eerstegeval. Derechte PQ isnietevenwijdigmetde y-as(zie figuur).Danwordtdevergelijkingvanderechte PQ gegeven door

PQ : y y1 = y2 y1 x2 x1 (x x1)

watwekunnenherschrijvenals

PQ :(y y1)(x2 x1) (y2 y1)(x x1)=0

y2 P

Q

Indezetoepassinglinkenwehetopstellenvaneencartesischevergelijkingvaneenrechteinhetvlakmethetberekenen vaneendeterminant.Ditkanwordenuitgebreidnaarhetopstellenvaneencartesischevergelijkingvaneenvlakinde ruimte(zieDeelRuimtemeetkunde). y x x1

y1 x2

▷ Tweedegeval. Derechte PQ isevenwijdigmetde y-as.Indatgevalis x1 = x2 enlevertdevorige vergelijkingookderechte PQ,want (y y1)(x2 x1) 0 (y2 y1)(x x1)=0 ⇔ (y2 y1) =0 (x x1)=0 ⇔ x = x1

Derechte PQ heeftdus,ongeachtzijnligging,devolgendevergelijking:

PQ :(y y1)(x2 x1) (y2 y1)(x x1)=0 Nuherkennenweinhetlinkerliddedeterminantvaneen2 × 2-matrix,diewekunnenmanipulerentotde determinantvaneen(eenvoudigere)3 × 3-matrix: (y y1)(x2 x1) (y2 y1)(x x1)=0 ⇔− det ï x x1 y y1 x2 x1 y2 y1ò =0 ⇔ det   x x1 y y1 0 x1 y1 1 x2 x1 y2 y1 0   =0 ⇔ det   xy 1 x1 y1 1 x2 y2 1   =0

Wehebbendevolgendeeigenschapbewezen. ✸ Eigenschap13(vergelijkingvaneenrechtemetdeterminant). Devergelijkingvanderechtedoortweeverschillendepunten P (x1,y1)en Q(x2,y2)wordtgegevendoor PQ :det   xy 1 x1 y1 1 x2 y2 1   =0 ✸ Modelvoorbeeld. Bepaalmetbehulpvaneendeterminantdevergelijkingvanderechtedoordepunten P (2, 7) en Q( 2, 4). Oplossing.

Deoppervlaktevaneendriehoekiseenvoudigteberekenenalsmendelengtevandebasisendehoogtekent,ofals mendelengtevandedriezijdenkent(formulevanHeron,zieDeelGoniometrieenprecalculus2).Ingevalmenenkel decoordinatenvandedriehoekpuntenkent,moetmenwatrekenwerkverrichtenom´e´envandevorigeformuleste kunnenaanwenden.

Eenalternatiefiseenformulediedeoppervlaktevaneendriehoekuitdruktintermenvandecoordinatenvandehoekpunten.Opnieuwduiktdedeterminantop.HetresultaatwordtaangewendinToepassing9,waarwedemeetkundige betekenisvandedeterminantvaneen2 × 2-matrixbespreken.

✸ Opbouw. Webeschouwendrieverschillendepunten P (x1,y1), Q(x2,y2)en R(x3,y3).Omdeoppervlaktevandedriehoek PQR teberekenen,vertrekkenwevanuitdebasisformule

Opp. △PQR = 1 2 basis × hoogte = 1 2 ·|PQ|· d(R,PQ)

waarbij d(R,PQ)deafstandvanpunt R totrechte PQ voorstelt.Uit hetvierdejaarkennenwedeformulevoordeafstandvaneenpunt toteenrechte:schrijvenwedevergelijkingvan PQ als ax + by = c, danis d(R,PQ)= |ax3 + by3 c| √a2 + b2 .

y

UitdeopbouwvanToepassing7volgtdatdevergelijkingvanderechte PQ wordtgegevendoor PQ :(y y1)(x2 x1) (y2 y1)(x x1)=0

waarbijhetlinkerlidkanwordenherschrevenalsdet   xy 1 x1 y1 1 x2 y2 1  

Aldusverkrijgenwe

Opp. △PQR = 1 2 ·|PQ|· d(R,PQ) = 1 2 ·|PQ| det   x3 y3 1 x1 y1 1 x2 y2 1   (y2 y1)2 +(x2 x1)2 = 1 2 det   x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1   .

Wehebbendevolgendeeigenschapbewezen.

✸ Eigenschap14(oppervlaktevaneendriehoekmetdeterminant). Deoppervlaktevaneendriehoekmethoekpunten P (x1,y1), Q(x2,y2)en R(x3,y3)wordtgegevendoor Opp. △PQR = 1 2 det   x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1  

✸ Modelvoorbeeld. Bepaalmetbehulpvaneendeterminantdeoppervlaktevandedriehoekmetalshoekpunten P ( 1, 3), Q(2, 1)en R( 4, 1). Oplossing.

Toepassing9-Meetkundigebetekenisvandedeterminantvaneen 2 × 2-matrix

y2 Q

P

y1 x2 R

Wehebbendevolgendeeigenschapbewezen. ✸ Eigenschap15(meetkundigebetekenisvandedeterminantvaneen 2 × 2-matrix). Deoppervlaktevaneenparallellogrammethoekpunten O(0, 0), P (x1,y1), Q(x2,y2)en R(x1 + x2,y1 + y2)wordt gegevendoor:

Opp. OPRQ = det ïx1 y1 x2 y2ò

✸ Modelvoorbeeld. Bepaalmetbehulpvandeterminantendeoppervlaktevandeparallellogram OPRQ metals hoekpunten O(0, 0), P ( 3, 6), Q(5, 9)en R(2, 15). Oplossing.

Eenparallellogramiseenvlakkefiguur,hetanalogoninderuimeiseen zogenaamdparallellepipedum:eenzesvlakmetdrieparenvanparallelle zijdes.Ligt´e´envandehoekpuntenindeoorsprong,danwordthetparallellepipedumbepaalddoordrienaburigehoekpunten P , Q en R (ziefiguur). Wevermeldenzonderbewijs:

Toepassing10-Meetkundigebetekenisvandedeterminantvaneen 3 × 3-matrix Q

✸ Eigenschap16(meetkundigebetekenisvandedeterminant vaneen 3 × 3-matrix). Hetvolumevaneenparallellepipedumbepaalddoor P (x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2)en R(x3,y3,z3)wordtgegevendoor:

Vol.= det   x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 III-69

R O

P

3DeterminantenBasisVerdiepingUitbreiding ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆

3.1Determinantvaneen1 × 1-matrix,2 × 2-matrix en3 × 3-matrix 1 2 1 2 3

3.2Determinantvaneen n × n-matrix45 6 7

3.3Eigenschappenvandeterminanten8 9 10

11 12 13 12

10 13 14

3.4Toepassingen23 24 25 26 27 28 29

Oefeningenbij 3.1

Oefening1. Berekentelkensalgebraıschdedeterminant.

B (a) 23 45

9 10 15 16 17

30 31 32

10 18 19

202122

333435 36 3738

B (d) sin(1, 3) cos(1, 3) cos(1, 3)sin(1, 3) B⋆ (g) 22 3 113 20 1

B (b) 32 17 B⋆ (e) 103 127 020 B⋆ (h) 123 052 241

B (c) 50 96 2028

B⋆ (f) 101 010 101 B⋆ (i) 1 12 31 1 21 1

Oefening2. Berekentelkensalgebraıschdedeterminantmetbehulpvanontwikkelennaardeeerstekolom.

B (a) 12 71 B⋆ (b) 15 8 002 42 3 B⋆ (c) 123 210 000 B⋆ Oefening3. BerekentelkensalgebraıschdedeterminantmetbehulpvanderegelvanSarrus.Delettersstellensteeds re ¨ elegetallenvoor.Controleer(indienmogelijk)jeresultaatmetbehulpvanjegrafischerekenmachine. (a) 32 1 214 3 50 (b) 4 3 3 101 443 (c) a 0 a bb 0 0 cc

Oefeningenbij 3.2 B Oefening4. Gegevenisdematrix A = 

B⋆⋆

A =     1212 0200 2304 020 1

   

Oefening7. Berekentelkensalgebraıschdedeterminantmetbehulpvanontwikkelingvolgensdeeerstekolom. Delettersstellensteedsreelegetallenvoor.Controleer(indienmogelijk)jeresultaatmetbehulpvanjegrafische rekenmachine.

(a) 1213 0 3 610 4148 2050 (b)

Oefeningenbij 3.3

6 6368 02 7 39 00 1 39 00025 0000 2

B Oefening8. Gegevenisdedeterminant D = 213 4 20 110

(a) Bepaaldewaardevan D doorteontwikkelennaardeeersterij. (b) Bepaaldewaardevan D doorteontwikkelennaardederdekolom.

(c) a 100 1 b 10 0 1 c 1 00 1 d

Oefening9. Zij A,B ∈ Rn×n metdet(A)= 3endet(B)= 4.Berekentelkensdegevraagdedeterminant. B (a)det(AT ) B⋆ (c)det(A AT ) B⋆ (e)det(A2 B3) B (b)det(A · B) B⋆ (d)det(A3) V (f)det(det(A) · A)

Oefening10. Zij A,B ∈ Rn×n.Waarofvals?Indienwaar,bewijs.Indienvals,geefeentegenvoorbeeld.

B (a) det(A B)=det(B A) B⋆ (b) det( A)= det A

B⋆⋆ (c) Als A inverteerbaarisdanisdet(A 1)= 1 det(A)

V (d) detÅdet(A) Aã =det(A) det(A) V⋆ (e) Alsdet A =det B =0danisdet(A + B)=det A +det B B⋆ Oefening11. Verklaarvoorelkematrixwaaromdedeterminantgelijkisaannul(eigenschapvermelden). (a) A = 

135 352 135   (b) B =   101 642 3 2 1   (c) C =   210 720 130   B⋆ Oefening12. Losdevolgendevergelijkingenopnaar x (a) 1 x 33 3 5 x 3 6 64 x =0(b) x 11 xx 1 1 xx =0(c) 2 x 21 042 x2023 612 =0 B⋆⋆ Oefening13. Berekentelkensalgebraıschdedeterminant,waarbijjegebruikmaaktvandegezieneeigenschappen vandeterminanten.Delettersstellensteedsre¨elegetallenvoor. (a) 1234 2341 3412 4123 (b) 2022152540 2022251639 2022162440 2022241541 (c) 222927 252330 282624 (d) aaa axx ayy (e) aa +3 a +6 a +1 a +4 a +7 a +2 a +5 a +8 (f) xaa axa aax (g) a + bb ab b + cc bc ayy (h) 1 a 1 b(a +1) 22a 1 b(2a +1) 33a 1 b(3a +1) (i) a + xa xa ya + y a xa ya + ya + x a ya + ya + xa x a + ya + xa xa

Oefening14. Zij A en B twee2 × 2-matrices.Toonaandat det A +det B = 1 2 (det(A + B)+det(A B)) .

V Oefening15. Zij A eenmatrixwaarvoor A2 = En.Bepaalallemogelijkewaardenvoordet A

V Oefening16. Zij A = ïa11 a12 a21 a22ò een2 × 2-matrix.

(a) Watgebeurtermetdedeterminantalswe A meteenreeelgetal r vermenigvuldigen?Bewijsjevermoeden.

(b) Formuleerdeeigenschapvooreen n × n-matrix.

V Oefening17. Zij∆= abc bca cab met a,b,c ∈ R0.Bepaaldewaardevandevolgendedeterminantinfunctievan∆: a3 abac2 abcac acabc

V⋆ Oefening18. Waarofvals?Indienwaar,argumenteerwaarom.Indienvals,geefeentegenvoorbeeld.

(a) Hetproductvantweesingulierematricesissingulier.

(b) Hetproductvantweeregulierematricesisregulier.

(c) Hetproductvaneensingulierematrixmeteenregulierematrixissingulier.

(d) Hetproductvaneensingulierematrixmeteenregulierematrixisregulier.

V⋆ Oefening19. Gegevenisdedeterminant

∆= 111 abc a2 b2 c2 waarbij a,b,c ∈ R.Toonaandat b c, c a en a b delerszijnvan∆zonderdedeterminantteberekenen.

U Oefening20(orthogonalematrices). Zij A ∈ Rn×n.Wenoemen A orthogonaal indien A AT = En.

(a) Toonaandat A = ï√2/2 √2/2 √2/2 √2/2 ò eenorthogonalematrixis. (b) Bewijsdatvoorelkeorthogonalematrix A (i) AT A = En, (ii) det A = ±1.

U⋆ Oefening21(inverteerbaarheidvandegetransponeerde). Zij A eenvierkantematrix.Toonaan: A isinverteerbaar ⇔ AT isinverteerbaar enindatgevalis AT 1 = A 1 T

Oefening22(matricesenderijvanFibonacci). DerijvanFibonacci isderijmetalsrecursiefvoorschrift:11

Beschouwdematrix A = ï11 10ò

(a) Bewijsdat An = ïFn+1 Fn Fn Fn 1ò vooralle n ≥ 2(zieookHoofdstuk1Oefening35).

(b) Bewijsdat Fn+1Fn 1 F 2 n =( 1)n vooralle n ≥ 2. 11GenaamdnaarLeonardovanPisa 1202doordewiskundigeFran¸cois EdouardAnatoleLucas 1877[14].LeonardovanPisais beterbekendonderdenaam Fibonacci,afgeleidvan filiusBonacci watzoveelbetekentals zoonvanBonaccio.DerijvanFibonacciwerd eerderbeschrevendoordeIndischewiskundigeAcharyaHemachandra ±1150.

B Oefening23. Bepaalophetzichtdedeterminantvandematrices A =   537 0411 00 2   en B =   146 002 031  

B Oefening24. LostelkenshetlineairstelselopmetbehulpvanderegelvanCramer.Noteerduidelijkjewerkwijze.

(a) ß 2x +3y =4 5x +2y = 1 (c)    x +2y +3z =1 x +2z =2 2y + z = 2 (e)    2x + y +3z =9 3x +2y 4z = 13 x 3y +7z =28 (b) ß 9a =5b +7 16a +29b = 3 (d)    3x1 +2x2 +2x3 =7 2x1 +2x2 +3x3 =7 6x1 +3x2 2x3 =7 (f)    2a + b + c =3 a b c =0 a +2b + c =0

B⋆ Oefening25. Gaalgebraıschenmetbehulpvandeterminantennaofdematrix A =   12 1 01 1 1 1 2   inverteerbaaris. Zoja,berekendeinversematrixmetbehulpvandegeadjungeerdematrix.

B⋆ Oefening26. BerekendevolgendedeterminantenmetbehulpvandedeterminantvanVandermonde.Deletters stellensteedsreelegetallenvoor.

(a) 1248 13927 1 39 27 1000 (b) 111 abc a2 b2 c2 (c) 1 aa2 a3 1 bb2 b3 1 cc2 c3 1 dd2 d3

B⋆⋆ Oefening27. Gegevenisdematrix A =   λ 203 2 λ 0 1 λ 1   waarbij λ ∈ R Bepaalmetbehulpvandedeterminantdewaarde(n)van λ waarvoordematrix A inverteerbaaris.

B⋆⋆ Oefening28. Gatelkensalgebraıschnaofdematrixinverteerbaaris.Zoja,berekendeinversematrixmetbehulp vandegeadjungeerdematrix.

(a) A =   32 1 163 120   (b) B =   123 257 2 4 5   (c) C =   023 204 3 40   B⋆⋆ Oefening29. Beschouwhetlineairstelsel ß 3sx1 2x2 =4 6x1 + sx2 =1 waarbij s ∈ R. Bepaaldewaarde(n)van s waarvoorhetstelseleenuniekeoplossingheeft.Bepaalindatgevaldeuniekeoplossing. V Oefening30. Bepaaltelkensmetbehulpvandeterminantenderangvandematrix. (a) A = ï24 612ò (b) B =   12 32 24 64 1 23 2   (c) C =   134 317 2 23   V Oefening31(toelatingsexamenBurgerluchtvaartschool). Gegevenhetstelsellineairevergelijkingen

Gevraagd: (a) dedeterminant D,gevormddoordecoefficientenvandeonbekenden,teberekenen; (b) devoorwaardenvindenopdathetstelseleenenigeoplossingheeft; (c) indatgevaldewaardevan x teberekenen; (d) hetgeval m =0teonderzoeken.

Oefening32. Bespreekvoorelke θ ∈ R hetstelsel ®

x cos θ y sin θ =3 x sin θ + y cos θ =2

V⋆ Oefening33. Zij A ∈ R2×2 en r ∈ R+ 0 .Bewijsmetbehulpvandemeetkundigebetekenisvandedeterminantdat det(rA)= r 2 det A.

V⋆⋆

Oefening34. Bepaaldemogelijkewaarde(n)voor λ ∈ R hetvolgendstelseloplossingenverschillendvandenuloplossingheeft: ï 1 2 10 ò ïx yò = λ ïx yò

U Oefening35(inversematrixvaneeninverteerbare 2 × 2-matrix). Zij A = ïab cdò eeninverteerbare2 × 2-matrix.Bewijsdevolgendeformule: A 1 = 1 det A ï d b ca ò

Opmerking. Metdezeformuleonthoudjehoejeuitdematrix A deinverse A 1 kanverkrijgen:

(1) dediagonaalelementenvan A verwisselen;

(2) denevendiagonaalelementenvan A latenstaanenvoorzienvaneenminteken; (3) delendoordedeterminant.

U Oefening36(oppervlaktevaneendriehoekmetdeterminant). Bewijsdatdeoppervlaktevaneendriehoek methoekpunten P (x1,y1), Q(x2,y2)en R(x3,y3)wordtgegevendoor: Opp. PQR = 1 2 det ïx2 x1 y2 y1 x3 x1 y3 y1ò

U⋆ Oefening37(geori¨enteerdeoppervlaktevaneenparallellogram). Wenoemendeoppervlaktevaneenparallellogram OPRQ positiefgeorienteerd alsdehoek([OP, [OQ)positiefgeorienteerd(tegenwijzerzin)is.Datis equivalentmetzeggendatopdevlakkefiguurdelettersinparallellogram OPRQ integenwijzerzinwordendoorlopen (zielinkerfiguur).Analoogsprekenwevaneennegatiefgeorienteerdparallellogram OPRQ (zierechterfiguur).

Voorzienwehetmaatgetalvandeoppervlaktevandeparallellogram OPRQ meteenplustekenbijeenpositief georienteerdparallellogramenmeteenmintekenbijeennegatiefgeorienteerdparallellogramdan,dansprekenwevan degeorienteerdeoppervlakte vanhetparallellogram.Bewijsdevolgendeuitbreidingvandemeetkundigebetekenisvan een2 × 2-matrix:degeori¨enteerdeoppervlaktevaneenparallellogrammethoekpunten O(0, 0), P (x1,y1), Q(x2,y2) en R(x1 + x2,y1 + y2)wordtgegevendoor: geort.opp. OPRQ =det ïx1 y1 x2 y2ò

Oefening38(determinantvandegeadjungeerdematrix). Zij A een n × n-matrix.Bewijsdat det(adj A)=(det A)n 1

Inzichtinplanologie

Ditvoorbeeldhoortthuisindeplanologie,waarinweeeneenmigratievoorspellingmetbehulpvanmatricesuit Hoofdstuk1hernemen.12Metbehulpvandeterminantenverklarenwewaaromzo’nmigratieeenevenwichttoelaat entonenhoezo’nevenwichtkanberekendworden.

Webeschouwenheteenvoudigmodelvoordeveranderingvanhetaantalinwonersineenbepaaldestadt.o.v.het plattelandoppagina17.Ondersteldatiederjaar5%vandeinwonersvandestadverhuizennaarhetplatteland endatiederjaar3%vandeinwonersvanhetplattelandverhuizennaardestad.Wekunnendemigratiebeweging voorstellenmetbehulpvandevolgende(gewogen)graaf:

0, 97 0, 95

platteland stad

0, 05 0, 03

Demigratiematrix P steltde(procentuele)bijdragenvoordieeenplaats(stadofplatteland)genereertvooreen andereplaats.

↙ stadplatteland stad0, 950, 03 platteland0, 050, 97 matrix P = ï0, 950, 03 0, 050, 97ò Pij =proc.aandeelvanplaats j naar i

Isbijvoorbeeldhetaantalinwonersindestad60000enophetplatteland40000,dankunnenwehetaantalinwoners na´e´enjaarberekenenmetdebewerking

P · ï60000 40000ò = ï0, 950, 03 0, 050, 97ò · ï60000 40000ò = ï58200 41800ò

Omhetaantalinwonersnatweejaartekennen,passenwevoorgaanderedeneringnogmaalstoe: P · ï58200 41800ò = P 2 · ï60000 40000ò = ï56544 43456ò

Wesprekenvaneenevenwicht (x,y)alshetaantalinwonersindestad x enophetplatteland y onveranderdblijft. Ditisequivalentmetzeggendathetaantalinwonersna´e´enjaarnietverandert,uitgewerkt: P ïx yò = ïx yò ⇔ P ïx yò ïx yò = ï0 0ò ⇔ (P E2) ïx yò = ï0 0ò

Als(x,y)=(0, 0)danishieraanvoldaan.Ditnoemenweeentriviaalevenwicht.Wilereenniet-triviaalevenwicht bestaan,danmoethetstelsel(P E2) X =0oplossingenhebbenverschillendvandenuloplossing.Wegensde hoofdstellingvanvierkantematricesisditequivalentmetzeggendatdet(P E2)=0.Eninderdaad: det(P E2)= 0, 95 10, 03 0, 050, 97 1 = 0, 050, 03 0, 05 0, 03 =0,

eengevolgvanhetfeitdatdesominelkekolomgelijkisaan1=100%.Menzieteenvoudigindatzoietshetgeval isvoorelkemigratiematrix.Metanderewoorden,elkemigratiematrixbeziteenniet-triviaalevenwicht.Omzo’n evenwichttevinden,lossenwehetstelsel(P E2) · X =0verderop: P ïx yò = ïx yò ⇔ (P E2) X =0 ⇔ ï1 0, 6 00 ò

zodatbijelkevenwichthetaandeelindestadgelijkisaan60%vanhetaandeelophetplatteland.Ishettotaal aantalinwonersinstadenplattelandsamen100000,danvindenwehetevenwicht x =37500inwonersindestad en y =62500inwonersophetplatteland.

12Planologieisdewetenschapdiehetruimtegebruikineenlandbestudeert.Onzewerkwijzeberustopdealgemenetechniekvanhet zoekenvaneigenwaardeneneigenvectorenvaneenmatrix.Hetbestaanvaneenniet-triviaalevenwichtvolgtuithetfeitdatelkevierkante matrixwaarvandesominelkekolomgelijkisaan1=100%alseigenwaarde1heeft,zieDeelVectorruimten.

Antwoordenopgeselecteerdeoefeningen

Hoofdstuk1

(1) (a) A ∈ R3×2 , B ∈ R1×1

(3) x =1en y = 1

(4) (a) vals (b) waar (c) waar (d) vals (e) waar (f) waar (g) vals

(6) (a) a = 3, b = 6, c =0 (b) p = 1, q =17/3, r =0

(7) (a) A = ï23 34ò (b) B =   25 14 03   (c) C = ï40 98ò

(9) (a) A isnietsymmetrisch,welscheefsymmetrisch (b) respectievelijk 0 (vals)en 1 (waar)

(10) (a) A + B = ï20 20ò (b) A + C = / (c) AT B = ï22 0 6ò (d) AT + BT = ï22 00ò (e) (A + B)T = ï22 00ò (f) B + BT = ï00 06ò

(11) 5 A 3 B = ï 38 20 10128 ò

(12) t = 3, w = 2en u = 7 (15) (A B)23 = 2en(A B)31 =4

(16) B · AT B · C =   18 7 15 4 00  

(17) (a) (A + B)2 = A2 +2A B + B2 (b) (A B) (A + B) = A2 B2 (c) (A B)2 = A2 B2 (d) (A + B)T = AT + BT (e) (5 · A)T =5 · AT (f) (A · B)T = AT · BT (g) (A · B)T = BT · AT (h) (A · AT )T = A · AT (18) (a) A B = / (b) A · BT =   114 62 323   (c) B A = ï13 428 26 3ò (d) A3 =   2320 36 16334 52 273   (e) 3B = ï3018 630 ò (f) B C = ï 11326 2+ a 1617ò (19) X = ï 3/21 0 3/2ò (20) vals (21) D =

1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7

(22) a =1, b =2en c =1 (23) matrix B heeftorde5 × 2enmatrix C heeftorde5 × 4 (24) (2A En)2 = En (29) (b) G = 11 en H =

(2) (a) Opl S = {(0, 3 r ; 0, 1 r ; r) | r ∈ R}

(b) Opl S = {(6 r, 2+ r,r) | r ∈ R} (c) Opl S = ∅ (d) Opl S = {(1 4r s,r,r,s) | r,s ∈ R} (e) Opl S = {(5, 1, 1, 1)} (f) Opl S = ∅

(3) (a) Opl S = {(1, 3)}

(b) Opl S = {(8, 0)} (c) Opl S = {(0, 0, 0)} (d) Opl S = ∅ (e) Opl S = ∅ (f) Opl S = {(4+3r +2s, 6 5r 4s,r,s) | r,s ∈ R}

(4) (a) Opl S = {(1, 1, 1)} (b) Opl S = ∅ (c) Opl S = ∅

(d) Opl S = ßÅ 17 3 r, 13 3 r, 4 3 r,rã | r ∈ R™ (e) Opl S = ∅ (f) Opl S = ßÅ 3 5 r, 1 5 r + s,r,sã | r,s ∈ R™

(5) Opl S = ßÅ 3 5r , 3 7r , 1 r ã | r ∈ R0™ (6) a b + c =20

(7) x = √3/2, y = √3/6en z = √3/2 (8) Opl S = {(9, 1, 4), ( 9, 1, 4)} (9) f (x)= Å 1 2 + 1 2 rã x 2 + Å 3 2 3 2 rã x + r met r ∈ R \{1} (10) (b) Opl S = {(ln4, 0)} (13) rang A =2 (14) (a) rang A = ®1als m =5 2als m =5 (b) rang B =

       1als m = 1 ± √5 2 2als m = 1 ± √5 2 (c) rang C =2voorelkewaardevan m (d) rang D = ®2als m = 1 3als m = 1 (15) Derangvan A ismaximaalalsenslechtsals ad bc =0.

(16) (a) Hetstelselheeftoneindigveeloplossingen,met1parameterindeoplossingsverzameling. (b) Hetstelselheeftgeenoplossingen. (c) Hetstelselheefteenuniekeoplossing. (d) Hetstelselheeftoneindigveeloplossingen,met2parametersindeoplossingsverzameling. (17) (a) Hetstelselheefteenuniekeoplossing. (18) m = 9

(19) (a) Hetstelselheefteenuniekeoplossingals m = ±2enoneindigveeloplossingenmet1parameterinde oplossingsverzamelingals m = ±2.

(b) Hetstelselheefteenuniekeoplossingals m =0enoneindigveeloplossingenmet1parameterinde oplossingsverzamelingals m =0.

(c) Hetstelselheeftgeenoplossingenals m = 1,eenuniekeoplossingals m = ±1enoneindigveeloplossingen met1parameterindeoplossingsverzamelingals m =1.

(d) Hetstelselheeftgeenoplossingenals m = 2,eenuniekeoplossingals m ̸∈{−2, 1} enoneindigveel oplossingenmet2parametersindeoplossingsverzamelingals m =1.

(20) (a) Hetstelselheeftoplossingenalsenslechtsals k = 2.

(b) Hetstelselheeftoplossingenalsenslechtsals k = 2.

(21) (a) k = 2 (b) k =1

(c) k ∈ R \{−2, 1}

(23) (a) Hetstelselblijftstrijdig. (b) Ofwelishetnieuwestelselstrijdig,ofwelblijfthetaantalparametersindeoplossingsverzamelingvanhet nieuwestelselgelijkaan1,ofwelheefthetnieuwestelseleenuniekeoplossing.





(28) (a) (A B) 1 = A 1 B 1 (b) (A B) 1 = B 1 A 1 (c) (AT ) 1 = A 1 (d) (AT ) 1 = A 1 T (e) (2 · A) 1 =2 1 · A 1 (f) (A 1) 1 = A (31) Opl S = {( 1, 5, 13)} (34) Morgankanzijnbestellingbetalenenmoetdaarvoor5, 5eurobetalen. (35) Deafzonderlijkeprijsvaneenblikjecolais0, 6euro,vaneenzakjechips0, 5euroenvaneenzaksnoep1, 2euro. (36) Annais57jaar,Brigitte36jaarenCharlotte12jaar. (37) (a) Dematrix A isnietinverteerbaar. (b) Dematrix A isinverteerbaar,metalsinverse A 1 =   40169 13 5 3 5 2 1  . (38) (a) A 1 = ï4/7 3/7 1/71/7 ò en B 1 = ï1/32/3 1/3 1/3ò (b) (AB) 1 = ï2/91/27 1/9 4/27ò

III-79

(45) (D) (46) Hetgewichtvaneenvaasis50g,deeerstevaasbevatte150gwaterendetweedevaas200gwater. (48) A(x)=(x 2)(x2 +2x +2)(2x2 +2x +2)

Hoofdstuk3

(1) (a) 2 (b) 23 (c) 520 (d) 1 (e) 20 (f) 0 (g) 18 (h) 19 (i) 1 (2) (a) 15 (b) 44 (c) 0 (3) (a) 23 (b) 1 (c) 2abc (4) (a) 1 (b) 0 (5) (a) 2 (b) 3 (c) 8 (6) 4 (7) (a) 90 (b) 48 (c) abcd + ad + ab + cd +1 (8) (a) 6 (b) 6 (9) (a) 3 (b) 12 (c) 9 (d) 27 (e) 576 (f) ( 3)n+1 (10) (a) waar (b) vals (c) waar (d) vals (e) vals

(12) (a) Opl V = {−2, 4} (b) Opl V = {−1, 1} (c) Opl V = {2} (13) (a) 160 (b) 0 (c) 2106 (d) 0 (e) 0 (f) (x +2a)(x a)2 (g) (a y)(b2 ac) (h) 0 (i) 16a(x y)(x + y)2 (15) det A = ±1 (17) ac2∆ (18) (a) waar (b) waar (c) waar (d) vals (23) det A = 40endet B = 6 (24) (a) Opl S = {( 1, 2)} (b) Opl S = ßÅ 188 181 , 85 181 ã™ (c) Opl S = ßÅ 5 3 , 13 12 , 1 6 ã™ (d) Opl S = {(1, 1, 1)} (e) Opl S = {(1, 2, 3)} (f) Opl S = {(1, 2, 3)} (26) (a) 540 (b) (b a)(c a)(c b) (c) (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c) (27) (a) Dematrix A ininverteerbaaralsenslechtsals λ ∈ R \{−1, 0}

(29) Hetstelselheefteenuniekeoplossingalsenslechtsals s ∈ R \{−2, 2} enindatgevalwordtdeoplossingsverzamelinggegevendoorOpl S = ßÅ 4s +2 3s2 12 , s +8 s2 4 ã™

(30) (a) rang A =1 (b) rang B =1 (c) rang C =2 (31) (a) D = m(m 1)(m +1) (b) Hetstelselheefteebenigeoplossingalsenslechtsals m ∈ R \{−1, 0, 1} (c) x = 1 m (d) Als m =0danheefthetstelselgeenoplossingen.

(32) Opl S = {(3cos θ +2sin θ, 2cos θ 3sin θ)}

(34) Hetstelselheeftoplossingenverschillendvandenuloplossingalsenslechtsals λ ∈ R \{−1, 2}

Referentielijst

[1] S.C.Althoen,R.McLaughlin, Gauss-JordanReduction:ABriefHistory,TheAmericanMathematicalMonthly, Vol.94,No.2,p.130-142,1987.

[2] C.G.BachetdeM´eziriac, Probl‘emesplaisantsetd´electablesquisefontparlesnombres,PierreRigaud,Lyon, 1612.

[3] A.Cayley, AMemoirontheTheoryofMatrices,PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSocietyofLondon,Vol. 148,p.17-37,1858.

[4] B.I.Clasen, Surunenouvellem´ethodeder´esolutiondes´equationslin´eairesetsurl’applicationdecettem´ethode aucalculdesd´eterminants,Ann.Soc.Sci.Bruxelles,Vol.12,p.251-281,1888.

[5] E.B.Cowley, NoteonaLinearDiophantineEquation,TheAmericanMathematicalMonthly,Vol.33,No.7,p. 379-381,1926.

[6] G.Cramer, Introduction`al’AnalysedeslignesCourbesalg´ebriques,chezlesFr`eresCramer&Cl.Philibert, Gen`eve,1750.

[7] K.DeNaeghel, Giscorrectieenoptimaliserenvanslaagkansen,Uitwiskeling30/1,p.2-7,2014.

[8] C.F.Gauss, DisquisitiodeElementisellipticisPalladisexOppositionibusAnnorum1803,1804,1805,1807,1808, 1809,KoniglicheGesellschaftderWissenschaften,Gottingen,1874.

[9] J.F.Grcar, MathematiciansofGaussianElimination,NoticesoftheAmericanMathematicalSociety,Vol.58(6), p.782-792,2011.

[10] W.Jordan, HandbuchderVermessungskunde,ErsterBand,DritteverbesserteAuflage,Metzler,Stuttgard,1888.

[11] A.B.Kempe, Amemoironthetheoryofmathematicalform,PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSocietyof London,Vol.177,p.1-70,1886.

[12] G.R.Kirchhoff, UeberdenDurchgangeineselektrischenStromesdurcheineEbene,insbesonderedurcheine kreisformige,AnnalenderPhysik,Vol.64,p.497-514,1845.

[13] H.Lebesgue L’oeuvremath´ematiquedeVandermonde,Noticesd’HistoiredesMath´ematiques,Universit´ede Gen`eve,p.18–39,1938.

[14] F.E.A.Lucas, RecherchesSurPlusieursOuvragesDeL´eonardDePiseEtSurDiversesQuestionsD’Arithm´etique Sup´erieure,Impr.dessciencesmath´ematiquesetphysiques,Rome,1877.

[15] C.Maclaurin, ATreatiseonAlgebrainThreeParts,A.MillarandJ.Nourse,London,1748.

[16] L.Papula, Wiskundevoorhethogertechnischonderwijsdeel1,AcademicService,2009.

[17] P.F.Sarrus, Nouvellem´ethodepourlar´esolutiondes´equationsnum´eriques,Bachelier,Paris,1833.

[18] J.J.Sylvester, Ontherelationbetweentheminordeterminantsoflinearlyequivalentquadraticfunctions,PhilosophicalMagazine,I(4),p.295-305,1851.

[19] T.Yuster, TheReducedRowEchelonFormofaMatrixIsUnique:ASimpleProof,MathematicsMagazine,Vol. 57,No.2,p.93-94,March1984.

[20] WebsiteKoenDeNaeghel,datavooroptimaleslaagkansbijgiscorrectie, http://www.koendenaeghel.be/giscorrectie.htm

[21] WebsiteMacTutorHistoryofMathematicsarchive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

[22] WebsiteWikipedia, http://en.wikipedia.org/ en http://en.wikipedia.org/