中1数学

おうぎ形の面積・弧の長さ・中心角の求め方がサクッとわかる

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この記事は, 「おうぎ形の面積・弧の長さ・中心角の求め方がわからない…」という人に向けて解説 します。数学が苦手な人でもこの記事を読めば,おうぎ形の問題がサクッと解ける ようになります。

1.おうぎ形とは?

おうぎ形とは,円の2本の半径とその間にある円弧によって囲まれた図形です。ようするに,次の図のような,円の一部分がおうぎ形ですね。

テスト記事 中1 数学3 おうぎ形の図

おうぎ形のうち,2つの半径にはさまれた角を中心角,2つの半径をつなぐアーチ部分をといいます。

テスト記事 中1 数学3 おうぎ形の中心角,弧

2.ポイント

おうぎ形の面積や弧の長さ,中心角を求めるときは公式を利用します。おうぎ形の半径をr(cm),中心角をa°とするとき,次の公式が成り立ちます。

ココが大事!

おうぎ形の「面積」と「弧の長さ」の公式

テスト記事 中1 数学3 おうぎ形のポイント

この公式は必ず覚えましょう。覚え方のコツは,おうぎ形が円の一部ということを意識することです。円全体の中心角360°のうち,おうぎ形の中心角a°がどれくらいの割合を占めるか考えてみましょう。$$\frac{a}{360}$$ですね。
すると,面積弧の長さが,もとの円の面積,円周の$$\frac{a}{360}$$の割合だとわかりますね。円の面積と円周の公式さえ覚えていれば,おうぎ形の公式は,$$\frac{a}{360}$$をかけ算するだけでよいのです。このポイントをおさえた上で,実際に問題を解いてみましょう。

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3. おうぎ形の面積と弧の長さを求める問題

問題1

半径3cm,中心角120°のおうぎ形の面積と弧の長さを求めなさい。

問題の見方

半径と中心角を,おうぎ形の公式に代入して求めましょう。

テスト記事 中1 数学3 おうぎ形のポイント

この公式が覚えづらい人は,おうぎ形が円の一部だということを意識しましょう。円全体の中心角360°のうち,おうぎ形の中心角a°がどれくらいの割合を占めるのかを考えれば,面積と半径が求められます。この問題の場合,中心角が120°なので,
$$\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{3}$$
おうぎ形は,もとの円の$$\frac{1}{3}$$の大きさだとわかります。つまり,
$$(円の面積)×\frac{1}{3}=(おうぎ形の面積)$$
$$(円周)×\frac{1}{3}=(弧の長さ)$$
となるのです。

解答

面積は,
$$\pi×3^2×\frac{1}{3}=\underline{3\pi(cm^2)}……(答え)$$

弧の長さは,
$$2\pi×3×\frac{1}{3}=\underline{2\pi(cm)}……(答え)$$

映像授業による解説

動画はこちら

4. おうぎ形の中心角を求める問題

問題2

半径6cm,弧の長さ3πcmのおうぎ形の中心角を求めなさい。

問題の見方

半径と弧の長さがわかっているので,中心角をa°とおいて,おうぎ形の弧の長さの公式に代入します。

テスト記事 中1 数学3 おうぎ形のポイント

上の式で,(おうぎ形の弧の長さ)=3π,(半径r)=6を代入すると,中心角a°の値が求まりますね。

解答

おうぎ形の中心角をa°とすると,弧の長さの公式より,
$$2\pi×6×\frac{a^\circ}{360^\circ}=3\pi$$
この方程式を解いて,
$$\pi×\frac{a^\circ}{30^\circ}=3\pi$$
$$\frac{a^\circ}{30^\circ}=3$$
$$a^\circ=\underline{90^\circ}……(答え)$$

映像授業による解説

動画はこちら

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