II. Basis und Dimension ...

II. Basis und Dimension 

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2.1 Linearkombination und Basis 

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a 

d = λ⋅ a 

Ist a ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dann ist jeder dazu parallele (kollinear) Vek- 

tor d ein Vielfaches von a . 

a 2 

a 1 

d = λ 1 ⋅ a 1 + λ 2 ⋅ a 2 

Sind a1 und a2 zwei nicht kollineare und vom Nullvektor verschiedene Vektoren der Ebene, 

dann lässt sich jeder zu dieser Ebene parallele (zu a1 und a2 komplanare) Vektor d als 

Summe von Vielfachen dieser beiden Vektoren darstellen. 

a 3 

a 1 

a 2 

d = λ 1 ⋅ a 1 + λ 2 ⋅ a 2 + λ 3 ⋅ a 3 

Sind a1 , a2 und a3 drei nicht komplanare und vom Nullvektor verschiedene Vektoren des 

Raumes, dann lässt sich Vektor d 

als Summe von Vielfachen dieser drei Vektoren darstellen.

Deshalb definiert man 

Definition : 

Sind a1 , a2 , .... , an Vektoren eines Vektorraums, dann heißt der Vektor 

eine Linearkombination dieser Vektoren. 

Gilt speziell d = o , dann heißt 

λ 1⋅ a 1 + λ 2⋅ a 2 + ........... + λ n⋅ a n = o 

eine Nullsumme von a1 , a2 , .... , an . 

d = λ 1⋅ a 1 + λ 2⋅a 2 + ........... + λ n⋅ a n 

Ist dabei λ1 = λ2 = ........ = λn = 0, dann spricht man von einer trivialen Nullsumme, 

andernfalls heißt die Nullsumme nichttrivial . 

Bemerkungen : 

a) Die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren a1 , ... , an bildet einen Untervektor- 

raum des Vektorraumes V, den von a1 , .. , an aufgespannten Raum. 

b) Eine nichttriviale Nullsumme im geometrischen Vektorraum bedeutet, dass sich aus den 

Vektoren λi ai , (1 ≤ i ≤ n) , eine geschlossene Vektorkette bilden lässt. 

c) Lässt sich aus den Vektoren a1 , .. , an eine nichttriviale Nullsumme bilden, dann lässt 

sich mindestens einer dieser Vektoren als Linearkomination der anderen darstellen. 

Definition : 

⎧ 

⎫ 

Eine Menge ⎨ b1 , b2 , ......, bn ⎬ von Vektoren eines Vektorraumes V heißt eine Basis 

⎩ 

⎭ 

dieses Vektorraumes, wenn sich jeder Vektor aus V auf 

v genau eine Weise als Linear- 

kombination dieser Basisvektoren schreiben lässt.

Satz : 

⎧ 

⎫ 

Genau dann ist eine Menge ⎨ b1 , b2 , ......, bn ⎬ von Vektoren eine Basis eines Vektor- 

⎩ 

⎭ 

raumes V, wenn gilt 

B1 Jeder Vektor v ∈ V lässt sich als Linearkombination der Vektoren b1 , ... , bn schreiben. 

⎧ 

⎫ 

B2 ⎨ b1 , b2 , ......, bn ⎬ ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren. 

⎩ 

⎭ 

Beweis : 

⎧ 

⎫ 

Sei ⎨ b1 , b2 , ......, bn ⎬ eine Basis von V. 

⎩ 

⎭ 

Daher gilt trivialerweise B1. 

Da sich der Nullvektor nur auf eine Art als Linearkombination der bi , 1 ≤ i ≤ n, schreiben 

lässt und dies daher nur die triviale Nullsumme sein kann, gilt auch B2. 

⎧ 

⎫ 

Sei umgekehrt ⎨ b1 , b2 , ......, bn ⎬ so, dass B1 und B2 erfüllt sind. 

⎩ 

⎭ 

⎧ 

⎫ 

Damit ⎨ b1 , b2 , ......, bn ⎬ eine Basis ist, muss gezeigt werden, dass die Darstellung eines 

⎩ 

⎭ 

Vektors als Linearkombination der bi , 1 ≤ i ≤ n, eindeutig ist. 

Beweis durch Widerspruch : 

Annahme : 

Es gibt einen Vektor v, 

der sich auf zwei verschiedene Arten als Linearkombination der 

bi , 1 ≤ i ≤ n, schreiben lässt, etwa 

v = λ 1⋅ b 1 + λ 2⋅ b 2 + ...... + λ n⋅ b n = µ 1⋅ b 1 + µ 2⋅ b 2 + ...... + µ n⋅ b n 

mit λi ≠ µ i für mindestens ein i, 1 ≤ i ≤ n.

Dann wäre aber 

(λ 1 − µ 1)⋅ b 1 + (λ 2 − µ 2)⋅ b 2 + ...... + (λ n − µ n)⋅ b n = o 

eine nichttriviale Nullsumme . Widerspruch zu B2 ! 

Definition : 

⎧ 

⎫ 

Ist ⎨ b1 , b2 , ... , bn ⎬ eine Basis eines Vektorraumes V und gilt für einen Vektor a 

⎩ 

⎭ 

n 

a = ∑ ai⋅ bi ; 

dann heißen die ai , 1 ≤ i ≤ n, die Koordinaten von a bezüglich dieser Basis. 

Man schreibt dafür 

a = a ⎛ ⎞ 

⎜ 1⎟ 

⎜a2⎟ 

⎝ ⎠ 

i = 1 

⎛a 

⎞ 

⎛a 

⎞ 

1 

1 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

bzw. a = ⎜a2⎟ 

bzw. a = ⎜... 

⎟ 

⎜a 

⎟ 

⎜... 

⎟ 

⎝ 3⎠ 

⎜a 

⎟ 

n ⎝ ⎠ 

und nennt diese Darstellung die Koordinatenschreibweise des Vektors a bzgl. der zugrun- 

de gelegten Basis. 

Der Vektor ai⋅ bi heißt die i-te Komponente des Vektors bzgl. dieser Basis. 

Speziell für die Basisvektoren gilt : 

Ferner lässt sich zeigen : 

Sind 

a = 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

a1 a2 a3 b 1 = 

⎛ ⎞ 

⎜1⎟ 

⎜0⎟ 

⎜0⎟ 

⎝ ⎠ 

b 2 = 

⎛ ⎞ 

⎜0⎟ 

⎜1⎟ 

⎜0⎟ 

⎝ ⎠ 

und b 3 = 

⎞ ⎛b 

⎞ 

1 

⎟ ⎜ ⎟ 

⎟ und b = ⎜b2⎟ 

die Koordinatendarstellung der Vektoren a und b 

, dann gilt für 

⎟ ⎜b 

⎟ 

⎠ ⎝ 3⎠ 

⎛ ⎞ 

⎜0⎟ 

⎜0⎟ 

⎜1⎟ 

⎝ ⎠

die Koordinatendarstellungen von a + b bzw. λ⋅ a 

⎛a 

⎞ ⎛ 

1 

⎜ ⎟ ⎜ 

a + b = ⎜a2⎟ 

+ ⎜ 

⎜a 

⎟ ⎜ 

⎝ 3⎠ 

⎝ 

⎞ 

⎛ ⎞ 

⎟ 

⎜a1 

+ b1⎟ ⎛a 

⎞ 

⎛ 

1 

⎟ = ⎜a2 

+ b ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ 

2 und λ⋅ a = λ 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜a2⎟ 

= ⎜ 

⎠ 

⎜a3 

+ b3⎟ ⎜a 

⎟ 

⎜ 

3 

⎝ ⎠ 

⎝ ⎠ 

⎜ 

⎝ 

b1 b2 b3 Kennt man die Koordinatendarstellung von Vektoren bzgl. einer Basis, dann kann die lineare 

Unabhängigkeit dieser Vektoren bzw. die Darstellung eines Vektors als Linearkombination 

dieser Vektoren algebraisch untersucht werden. 

Beispiel : 

⎧ 

⎫ 

Die Vektoren u , v und w haben bzgl. der Basis ⎨ b1 , b2 , b3 ⎬ eines Vektorraums die 

⎩ 

⎭ 

Koordinatendarstellungen 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ 1 ⎟ ⎜1⎟ 

⎜2⎟ 

u = ⎜ − 2⎟ 

, v = ⎜2⎟ 

und w = ⎜1⎟ 

⎜ 3 ⎟ ⎜0⎟ 

⎜1⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

a) Untersuche u , v und w auf lineare Unabhängigkeit. 

⎛ ⎞ 

⎜ 1 ⎟ 

b) Stelle den Vektor a = ⎜ − 3⎟ 

als Linearkombination von u , v und w dar. 

⎜ 4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

Lösung : 

a) Ansatz : λ⋅ u + µ⋅ v + ν⋅ w = o 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ 1 ⎟ ⎜1⎟ 

⎜2⎟ 

In Koordinatendarstellung : λ ⋅ ⎜ − 2⎟ 

+ µ ⋅ ⎜2⎟ 

+ ν ⋅ ⎜1⎟ 

= 0. 

Das ergibt die 

⎜ 3 ⎟ ⎜0⎟ 

⎜1⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Koordinatengleichungen : 

2⋅(1) − (2) 

λ + µ + 2ν = 0 

− 2λ + 2µ + ν = 0 

3λ + ν = 0 

4λ + 3ν = 0 

λa 1 

λa 2 

λa 3 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

(1) 

(2) 

(3) 

(4)

3⋅(3) − (4) 

λ = 0 in (4) 

λ = 0 und ν = 0 in (1) 

5λ = 0 ⇒ λ = 0 

ν = 0 

µ = 0 

Also sind u , v und w linear unabhängig, da sich nur die triviale Nullsumme bilden 

lässt. 

b) Der Ansatz : λ⋅ u + µ⋅ v + ν⋅ w = a führt auf die 

Koordinatengleichungen : 

2⋅(1) − (2) 

3⋅(3) − (4) 

λ = 1 in (4) 

λ = 1 und ν = 1 in (1) 

Also ist 

u + 2 v + w = a 

λ + µ + 2ν = 1 

− 2λ + 2µ + ν = − 5 

3λ + ν = 4 

4λ + 3ν = 7 

5λ = 5 ⇒ λ = 1 

ν = 1 

µ = 2 

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(1) 

(2) 

(3) 

(4)

2.2 Die Basen der geometrischen Vektorräume 

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1. Der Vektorraum der Vektoren parallel zu einer Geraden 

Alle kollinearen Vektoren, d.h. Vektoren, deren Repräsentanten parallel (kollinear) zu einer 

Geraden sind, bilden einen Vektorraum. 

Jeder Vektor, der vom Nullvektor verschieden ist, bildet eine Basis dieses Vektorraumes. . 

2. Der Vektorraum der Pfeilklassen einer Ebene 

Alle Vektoren, deren Repräsentanten parallel zu einer Ebene sind, bilden einen Vektorraum. 

Jedes Paar vom Nullvektor verschiedener und nicht paralleler Vektoren bildet eine Basis dieses 

Vektorraumes. 

3. Der Vektorraum der Pfeilklassen des Raumes 

Jedes Tripel vom Nullvektor verschiedener und paarweise nicht kollinearer Vektoren, die 

nicht parallel zu einer Ebene (komplanar) sind, bildet eine Basis dieses Vektorraums. 

Folgerung : 

3 geometrische Vektoren in der Ebene sind stets linear abhängig. 

4 geometrische Vektoren des Raumes unserer Anschauung sind stets linear abhängig. 

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2.3 Anwendung 

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Beispiel : 

Das Dreieck OAB sei festgelegt durch die Vektoren 

OA = a und OB = b , 

der Punkt A1 durch OA1 = und der Punkt durch 

3 

4 a B1 OB1 = . 

1 

2 b 

In welchem Verhältnis teilen sich die Strecken [AB1 ] und [BA1 ] ? 

1. Geschlossene Vektorkette, die den Schnittpunkt S der beiden Strecken enthält : 

BA + AS + SB = o 

2. Ansatz : 

AS = λAB 1 SB = µA 1 B 

3. Durch a und b ausgedrückt 

BA = a − b 

AB1 − 1 

2 b + a = o ⇒ AB 1 

1 = b − a 

2 

A1B − b + 3 

4 a = o ⇒ A 3 

1B = b − 

4 a 

4. Einsetzen und Ordnen 

a − b + λ⋅( 1 

2 

( − λ − 3 

4 

b − a ) + µ⋅( b − 3 

4 

a ) = o 

1 

µ + 1)⋅ a + ( λ + µ − 1)⋅ b = o 

2 

5. Lineare Unabhängigkeit 

(1) − λ − 3 

µ + 1 = 0 

4 

(2) 1 

λ + µ − 1 = 0 

2 

6. Teilverhältnis 

AS 

SB 1 

= 

2 

5 AB 1 

3 

5 AB 1 

ergibt 

= 2 

3 A 1 S 

SB = 

λ = 2 

5 

1 

5 A 1 B 

4 

5 A 1 

und µ = 4 

5 

1 

= 

B 4 

__________________________________________________________________________ 

A 

a 

A 1 

S 

O 

B 1 

b 

B

2.4 Dimension 

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Satz : 

Besitzt ein Vektorraum V eine Basis mit einer endlichen Anzahl n von Basisvektoren, dann 

besteht jede andere Basis ebenfalls aus n Vektoren. Man nennt die Zahl n die Dimension des 

Vektorraumes und schreibt 

Folgerung : 

dim V = n 

Für einen Vektorraum V der Dimension n bilden n linear unabhängige Vektoren stets eine 

Basis von V. 

Beispiele : 

a) Der Vektorraum der Pfeilklassen einer Geraden bzw. einer Ebene bzw. des Raumes ist ein- 

zwei- oder dreidimensional. 

b) Der Vektorraum der n-Tupel ist n-dimensional. 

Begründung : 

⎧ 

⎫ 

Die Menge ⎨(1|0| 

... |0) , (0|1| ... |0) , ... , (0|0| ... |1) ⎬ ist, wie man sofort einsieht, eine Basis 

⎩ 

⎭ 

(sog. Standardbasis). 

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